Помоги проекту - поделись книгой:
Сравнивая этот результат с наиобщей аксиомой § 35, мы можем сказать, что в нем для нас нет ровно ничего неожиданного, что он есть ближайшее и самое естественное следствие наиобщей аксиомы. Как возможен акт полагания, если его брать вне его простой и неразвитой сущности, но в его едино–раздельной множественности? То, что этот акт делается множественным и в то же время остается самим собою, не рассыпается в дискретную множественность, это обстоятельство возможно только как переход в упорядоченную фигурность, т. е. в фигурность вообще. Если акт раздробился и потерял свое единство, речь должна идти уже о разных актах, о дискретных и взаимно не связанных полаганиях. Но если акт превратился во множественность полагания и в то же время сохранился как такой, это значит, что он объединяет образовавшуюся множественность, т. е. превращает ее в фигурность. Диалектика фигуры строится на взаимодействии, точнее же сказать, на взаимопроникновении категорий единства и множества. Фигурность именно там, где единство превратилось во множество, не потерявши собственного бытия, и где множество целиком поддалось единству, не переставши быть множеством. Фигурность есть, таким образом, простейший диалектический синтез единства и множества.
Таким образом, получение числа как фигурно упорядоченной совокупности имманентно кроется уже в самом общем утверждении, что число есть раздельный акт полагания, и здесь требуется только самый элементарный диалектический шаг.
2. Может быть, важнее другая сторона полученного нами результата. Яснее всего она на арифметике и геометрии. Спросим себя: чего еще не хватает нам для того, чтобы иметь настоящую, действительную арифметику и геометрию? Можем ли мы просто что–нибудь вычислять или решать те задачи, которые обыкновенно именуются «арифметическими»? Собственно говоря, единственное, что мы получили до сих пор, можно назвать числом самим по себе. Мы просто определили число как совокупность. Можно ли, например, на этом основании производить арифметические действия? Строго говоря, мы не имеем на это никакого права. Мы еще не знаем, всегда ли, при всех ли обстоятельствах это число будет себя вести так, как мы его определили. Правда, мы уже коснулись понятия арифметического действия, но оно получено нами (в учении об определенности числа) в очень общей форме, и мы еще не знаем, какие возможны арифметические действия и как они возможны. Точно так же, получивши геометрическую фигурность, мы на основании только одних аксиом едино–раздельности еще не можем знать, что же нам, собственно говоря, надо делать с этими фигурами; и даже мы еще не знаем самих фигур, а только получили их абстрактное понятие. То же самое относится и к учению о множествах.
Ясно, что полученный результат, гласящий, что число есть фигурно–упорядоченная совокупность элементов, отличается чрезвычайно общим характером, все еще очень далеким от конкретной математической действительности. Надо посмотреть, как осуществляется такая едино–раздельная структура числа. Надо определить формы функционирования этого другого числа, уже отвлекаясь от его чисто внутренней структуры и переходя в область его внешних судеб и проявлений.
Но это значит, что число, изученное нами до сих пор, есть число идеальное, смысловое, что ему еще предстоит стать реальным и что для этой реализации требуется новое инобытие, в котором оно заново бы перевоплотилось.
Что рассмотренное до сих пор число есть идеальная значимость и не больше того, — с полной ясностью вытекает из его принципа фигурности. Фигурность, как и вообще структура, обладает всегда чисто идеальным характером, если ее брать как таковую. Как бы ни был веществен этот дом, это дерево, этот двор, всегда фигура и структура этого дома, дерева и двора есть нечто идеальное. Ведь домов таких, как этот мой, очень много, а структура всех этих домов — одна и та же. Явно, что структура вещи не есть сама вещь, а только ее идея, хотя бы пусть и неотделимая от нее. Значит, поскольку сама действительность не есть только идея, мы должны для ее охвата оставить чистое идеальное число и перейти к его инобытию, где бы это идеальное число получило тело и плоть и стало реальным.
3. Но какое же теперь возможно для нас инобытие? С инобытием мы, вообще говоря, уже имели дело. Инобытие только и сделало для нас возможным противопоставление супра–акта ему самому. Едино–раздельность акта полагания только потому и была возможна, что в сфере самого полагания, внутри его самого, оказалось некое самопротивоположение, т. е. некое инобытие. Однако это инобытие заключалось именно внутри самого числа. Оно было, другими словами, самим числом. Число противопоставлялось себе же самому, т. е. оно было инобытием для себя же самого. Оно было и своим бытием, и своим инобытием. Теперь у нас на очереди совсем другое инобытие. Это инобытие уже вне едино–раздельной структуры числа, т. е. вне самого числа. Число со всей своей фигурностью, со всей своей едино–раздельной структурой (которая остается отныне неизменной), переходит целиком в новое инобытие. Новое инобытие будет вносить в число уже не сущностные дифференции, но такие, которые не затрагивают самой сущности, а лишь говорят о внешних судьбах этой сущности.
Другими словами, нам предстоит формулировать аксиомы становления числа. Число со всей своей структурой перешло в новое инобытие, которое и втянуло его в стихию становления. Тут–то и должна начаться уже не идеальная, а реальная жизнь числа. Что же это за аксиомы становления?
Наиобщая аксиома § 35 гласит: «Число есть становящийся акт полагания». Спрашивается: как нужно понимать эту аксиому в ее математической интерпретации?
1. Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо принять во внимание, что с переходом в становление число погружается в чуждую себе стихию и облекается в эту стихию, перекрывается ею. Число застилается новым слоем и таким образом делается двухсоставным. В нем меркнут прежние различия и застилаются новой уже неразличимой мглой. Если до сих пор число оказывалось едино–раздельной фигурной упорядоченностью, то теперь оно является безразличным, безраздельным, бесфигурным хаосом неизвестно каких элементов. Вступивши в инобытие, оно уже лишается своих смысловых различий и в этом отношении превращается в чистую неразличимость. В смысловом отношении здесь число неразличимо, оно везде тождественно. Но оно погружено в инобытие, в становление, и существуют тут только различия в этом становлении. Однако становление тем и отличается от едино–раздельной числовой структуры, что оно безразлично, внутренне неразличимо; и если мы теперь утверждаем, что оно различается, то это различие является уже положенным различием неразличимого.
2. Однако тут нельзя не вспомнить о той основной неразличимости, которую мы уже имели в виде супра–акта. Чем отличается эта новая неразличимость от той, первоначальной? Первоначальная неразличимость дана до бытия, до раздельного акта полагания. Потому там была абсолютная неразличимость. Здесь же мы имеем неразличимость после раздельного акта полагания. Потому неразличимость здесь берется не сама по себе, но уже в определенной сфере, а именно — в сфере раздельных актов полагания. Следовательно, здесь мы отвлекаемся не просто от всякого бытия, какого бы то ни было, но сначала полагаем бытие, и полагаем его раздельно, а затем уже погружаем эту раздельность в новое безразличие, заливаем раздельную структуру числа безразличной мглой становления. Тогда уже получится некая положенность различного с аннулированием различествующих в нем пунктов. Другими словами, получится непрерывность. Эта непрерывность тем только и отличается от перво–акта, что последний дан до всякого полагания и, следовательно, различия; непрерывность же дана в сфере полагания, в сфере раздельного. Поэтому в непрерывности мыслится как бы нечто протяженное, хотя сама по себе она еще не есть только протяженность, но последняя есть только один из ее видов.
3. В непрерывности погасло противоположение раздельно–смысловых моментов. Вся едино–раздельная фигурная упорядоченность числа потухает в тот момент, когда число становится непрерывным. Но это касается только смысловых, т. е. идеальных, моментов. Идеальность здесь потухла. Однако непрерывность возможна только потому, что смысловое безразличие дано здесь в реальном различии, неразличимость структуры делается различимой инобытийно, субстанциально, фактически, реально. Смысловые различия в числе потухли, но зато возросли различия его по факту, по актам полагания. Акты полагания здесь уже не подчинены смыслу. Это в идеально–смысловой сфере числа было так, что всякому смысловому различию сопутствовало и различение по факту; или, лучше сказать, в идеально–смысловой сфере нет самого различия смысла и факта, бытия и инобытия; что раздельно по смыслу, то раздельно здесь и по факту; и самое инобытие есть не что иное, как противоположение смысла ему же самому, т. е. самопротивоположение смысла. Совсем другая картина в становлении. Здесь идеальный смысл перешел в свое инобытие, весь идеальный смысл перешел в свое инобытие. Потому новое инобытие уже не есть внутреннее инобытие самого смысла, но оно — внешне ко всей смысловой сфере. Потому оно есть абсолютная алогичность, т. е. его различения уже не идут вслед за сущностными различиями, но остаются именно инобытийными в отношении их. Существенные различия здесь прямо уничтожаются, а в алогическом становлении образуются новые, свои собственные различия, уже не соответствующие сущностным различиям и несоизмеримые с ними.
4. Вот почему непрерывность есть совокупность таких моментов (или точек), которые абсолютно неотличимы друг от друга, т. е. неотличимы как такие, — другими словами, неотличимы по своему собственному смыслу, по своей идеальной сущности. Но эти моменты здесь вполне различимы и различны по актам своего полагания, по реальной своей воплощенности, по субстанциальной положенное™. Поэтому в непрерывности и существует некая как бы протяженность, хотя и неизвестно, чего именно это есть протяженность.
Следовательно, мы будем правы, если нашу общую аксиому из § 35 мы в настоящем случае интерпретируем математически следующим образом: число есть величина, так или иначе определенная с точки зрения непрерывности.
1. Однако это не конец, а только еще начало математической интерпретации. Нам предстоит формулировать модификации этого принципа непрерывности в арифметике, геометрии, теории множеств и теории вероятностей. Но еще раньше этого мы должны всмотреться в самое понятие непрерывности, так как оно в математике формулировано очень разносторонне, хотя, как всегда, сами математики поступают тут вполне слепо и не знают, как свести воедино данные ими же самими несходные формулировки.
2. Дело в том, что понятие непрерывности математически (и философски) можно формулировать с разной степенью общности и конкретности. Но если мы хотим осуществить всю гамму конкретизации, что согласно с нашим общим диалектическим учением, то у нас нет никакого иного пути, как только применить ту самую пятисоставную схему, которая действует у нас везде. Другими словами, непрерывность должна рассматриваться как супра–акт, как едино–раздельный акт полагания, как становление, ставшее и выразительно–эманативная энергия полагания. Не трудно формулировать супра–акт непрерывности, поскольку в основе последней лежит не что иное, как алогическое становление числа. Тут мы могли бы или повторить соответствующую аксиому §35, или сказать: всякое число есть непрерывная величина. Этим самым и формулируется то, что мы в диалектике называем супра–акгом.
3. Труднее подыскать математическое выражение для последующего диалектического развития понятия непрерывности. Прежде всего, что такое непрерывность как бытие, т. е. как положенность, как едино–раздельная структура? Если в супра–акте непрерывность бралась в своем последнем принципе и не рассматривалась в своем конкретном строении, то сейчас, с переходом в едино–раздельную структуру, мы должны понять ее как нечто различенное, как то, что выявляет свою едино–раздельную структуру, поскольку она выражена в этой идеально–смысловой неразличимости. Такой различенной структурой безразличного может явиться здесь только протяжение, наполнение, или, если угодно, непроницаемость непрерывности. Ведь перечисленные моменты абсолютно проницаемы один для другого, поскольку мы там говорили о смысловом самотождестве. В пятерке все единицы абсолютно тождественны и проницают одна другую. В непрерывности же мы находим глухую стену между отдельными ее моментами; и если они тут слиты по смыслу, то часто по своему факту они абсолютно взаимонепроницаемы, ибо в том только и заключается сущность протяженности, разрывающей бытийные полагания сущего в их абсолютную внеположность. Следовательно, если говорить о едино–раздельности в сфере самой непрерывности, то это будет не что иное, как некая наполненность, протяженность или непроницаемость.
4. Математически это есть в точности то, что известно под именем аксиомы Архимеда. Ее можно формулировать чисто арифметически. И тогда она примет такой вид:
если а>0 и b>0, то всегда a–f а + а + … + а>b.
Можно ее формулировать и геометрически: если один и тот же отрезок откладывать на прямой достаточное число раз, то общая сумма всех отрезков всегда выйдет за пределы любой точки на этой же прямой.
Эту аксиому математики справедливо называют аксиомой непрерывности. Однако очень мало сказать, что это есть аксиома непрерывности. Ведь существует много других выражений для непрерывности; и если гнаться за логической точностью, то необходимо указать ту категорию, под которой развита эта аксиома Архимеда. Размышление показывает, что тут имеется в виду не столько непрерывность вообще, сколько один определенный ее гип, а именно, непрерывность в аспекте ее полноты и непроницаемости. Что, собственно, хочет сказать аксиома Архимеда? Она хочет сказать, что когда мы откладываем отрезок во второй раз, то его начало должно совпасть с концом уже отложенного отрезка, а когда мы откладываем его в третий раз, то начало третьего должно совпасть с концом второго и т. д. Другими словами, мы хотим этим сказать, что если на прямой отложен данный отрезок, то во второй раз мы уже не можем помещать его на то же самое место, но необходимо выйти за пределы первого отрезка, и так же — во второй раз, и т. д. Следовательно, в аксиоме Архимеда имеется в виду только тот аспект непрерывности, который мы выше обозначили как непроницаемость, протяженность, или полноту.
5. За бытием следует инобытие, и за смыслом следует становление. Что такое непрерывность как становление? Она уже сама по себе с самого начала есть становление. Но теперь мы в сфере самого этого становления различаем бытие, становление, ставшее и выразительную форму. Что же такое теперь становление самого становления в этой общей сфере непрерывности?
Становление есть процесс, и процесс неразличимого, алогический процесс. Непрерывность, следовательно, должна теперь мыслиться как алогический процесс, как наплывание и размыв неразличимости. Чем, однако, определяется здесь наплывающая неразличимость? Тем, что она не имеет в себе ни одной твердой, устойчивой точки, в частности не имеет никакого определенного конца. Если даны какие–нибудь две точки, то, имея дело с непрерывной величиной, мы сможем между ними вставить еще одну точку, как бы ни было мало это расстояние. Такое представление непрерывности уже содержит в себе идею процесса, и притом явно процесса бесконечного и непрерывного. Поэтому аксиома непрерывности на этой диалектической стадии развития непрерывности может быть формулирована так: в непрерывной величине различие каждых двух ее моментов может быть как угодно мало. Или: в непрерывной величине расстояние между любыми ее двумя точками может быть сделано меньше любой заданной величины. Этим выразится уже не полнота и не непроницаемость, но именно наплывание, становление непрерывности.
6. За становлением следует ставшее. Непрерывность должна быть также и ставшим. Ее процессуальность где–то должна остановиться, и ее становление должно натолкнуться на некую твердую границу, которая уже не может быть чисто идеальной границей, как раньше, т. е. границей фигуры, но должна быть границей неразличимой протяженности. Неразличимое протекание и расплы–вание где–то должно остановиться. Однако, будучи подлинным становлением, оно ведь не может реально остановиться. Ее границей, как и границей вообще, может быть только идеально–смысловое. С другой стороны, это идеально–смысловое не должно быть здесь границей такого же идеально–смыслового, так как в этом случае мы совсем покинули бы сферу алогического, вне–смыслового становления. Следовательно, непрерывная величина должна быть текуче–неразличимым, вне–смысловым становлением, т. е. оно никогда не должно кончаться, но это становление должно иметь идеально–смысловую границу, чтобы перейти вообще из становления в сферу ставшего. Это значит, что непрерывная величина имеет предел. Предел ведь не есть сама непрерывная величина, которая потому и непрерывна, что не имеет никаких ни начал, ни концов (ибо иначе она была бы прерывна). И тем не менее предел как–то присутствует в этом непрерывном потоке, и не только присутствует, но даже направляет его, управляет им, осмысливает его. Это и значит, что он присутствует здесь идеально–осмысленно, поскольку функции всего идеально–осмысленного в реаль–ном–вне–смысленном заключаются в осмысливании, в направлении алогического потока, в оформлении. Сам же этот непрерывный алогический поток продолжает быть реально–алогичным, неразличимым, наплывающим, уходящим в безраздельную мглу бесконечности.
Вейерштрасс формулировал коренящуюся здесь аксиому геометрически, но ее легко понять и чисто арифметически: если на отрезке имеется неограниченный ряд следующих друг за другом точек, то существует такая (предельная) точка, что на любом расстоянии от нее имеется точка ряда. Это то, что мы могли бы назвать аксиомой непрерывности на той стадии диалектического развития этой непрерывности, когда она превращается в «наличное бытие», в ставшее.
7. а) Наконец, понятию непрерывности необходимо придать еще более богатое и значительное содержание, когда оно выходит уже за пределы и категории ставшего. Именно, после ставшего мы констатировали· новый переход в смысловую сферу, но такую, где даны не просто внутренние различия смысла самого по себе, но куда вобраны и все различия по факту, которые были при[в]несены становлением и ставшим. Это как бы расцветший смысл, почему мы и именовали эту область как эманативную, энергийную и выразительную. Наша непрерывность должна не просто быть внешним фактом, несущим на себе идеальный смысл, т. е. не просто неразличимым, бесконечным процессом, содержащим в себе идею предела, но наша непрерывность должна теперь растворить одно в другом, т. е. в ней должна быть теперь уже преодолена самая антитеза реального факта и идеального смысла, или, другими словами, законченность и различимость предела должна раствориться в хаотической и неразличимой бездне фактического становления. И это возможно только в том случае, если непрерывность перестанет быть и голой протяженностью, исполненностью, и голой, неохватной процессуаль–ностью и перестанет содержать в себе идеальный смысл только как невыполнимое задание (предел). Но что же такое протяженность, содержащая в себе и свое ставшее, и самый смысл этого ставшего становления? Это, несомненно, есть некий образ, некая выразительная форма, где всякое различение снова (как в чисто идеальной области) влечет за собой и различение по факту, но тут различение происходит не до факта, а после факта, после инобытийного осуществления, так что различение обладает здесь не просто идеальной бесплотностью чистого ума, но еще и активно полагающей определенно сконструированную сферу инобьггийной действительностью. Прежний «предел», к которому мы пришли в связи с категорией ставшего, должен перестать быть только идеальным заданием и должен быть конструирован как реальная выразительность каждой точки алогического становления. Предел должен быть как бы окутан этим становлением со всех сторон; и мы должны как нащупывать его в самом становлении, так и нащупывать, полагать становление при полагании самого предела.
Такое понимание непрерывности лежит в основе постулатов Дедекинда и Кантора.
b) Дедекинд формулирует аксиому непрерывности так:
«Если все точки прямой распадаются на два класса такого рода, что каждая точка первого класса лежит влево от каждой точки второго класса, то существует одна, и только одна точка, которая производит это разделение прямой на два класса, это рассечение прямой на два куска».
С первого взгляда совершенно не видно, почему постулат непрерывности Дедекинда обладает указанными выше свойствами. Чтобы это уразуметь, начнем с житейских образов. Когда я смотрю сейчас на георгины, то их пышные темно–красные цветы хотя и составляют нечто целое со всем садом, но это целое дано тут в прерывных образах. Когда же я с георгин перевожу глаза на небосклон, то я вижу, что густая синева в зените постепенно, непрерывно переходит в голубизну ближе к горизонту и на самом горизонте почти уже теряет всякий голубой оттенок и становится белесоватой и почти белой. Наконец, когда я смотрю просто в зенит, то никакого перехода из одного цвета в другой я вообще не замечаю, и переход происходит только по вполне однородному густо–синему полю.
Аксиома непрерывности, основанная на чистом становлении, предполагает переход по одному пустому и равномерному пространству. Тут просто происходит бесконечное количество актов полагания, слившихся в одно общее протяженное полагание, т. е. тут полагание есть полагание только бы гия, чистого бытия, вне всякой качественности. Тут имеются в виду только самые акты полагания и совершенно игнорируется смысл того, что именно полагается. С другой стороны, аксиома Архимеда, основанная на четком различении одного заполненного пространства от другого, вовсе не говорит о чистом становлении в непрерывном потоке, но только говорит о тех различиях, которые вносятся в этот поток едино–раздельной структурой числа. Аксиома Архимеда относится к непрерывности в аспекте едино–раздельной струкгуры того, что вовлечено в поток непрерывности. Это есть непрерывность георгин, левкоев, роз, резеды и пр. цветов на общем фоне сада. Ведь сад тоже есть нечто целое, и эта целость непрерывно разлита по всем отдельным цветкам и деревьям, входящим в состав сада. Вот о такой–то непрерывности и говорит аксиома Архимеда. Это непрерывность прерывных предметов.
Наконец, можно переходить и от одного предмета к другому, от одного качества к другому и все же соблюдать непрерывность не как непрерывность прерывного, но именно как становящуюся непрерывность, как непрерывность чистого становления. Для этого нужен только постепенный переход от одного качества к другому, непрерывное изменение, скажем, синего в голубой. Тут, следовательно, будут происходить не просто акты полагания неизвестно чего, но вместе с этими актами будет полагаться и определенная качественность. С «бытием» будет вместе полагаться и «наличное бытие», но то и другое сольется в одну новую, уже энергийно–выразительную безразличность, так что и бытие будет становиться, и сама качественность будет в той же мере непрерывно становиться.
Вот это–то качественное, образное, или, как мы выражаемся, [эту ] энергийно–выразительную непрерывность, и имеет в виду Дедекинд. А именно, для чего ему понадобилось делить прямую на два класса точек? Предыдущие аксиомы непрерывности вполне обходятся без этого. Понадобилось ему это потому, что он при всем бытийственном переходе одних точек в другие, при всей взаимной неразличимости все же хочет их как–то различить, сохранить их качественное своеобразие. Точно так же, как и мы, хотя и видим постепенный переход от синего к голубому, все же совершенно определенно различаем синий цвет от голубого, точно так же и Дедекинд для демонстрации явления непрерывности прежде всего указывает на полную прерывность, на полную различимость и даже раздельность двух классов точек. Что бы тут ни происходило, но требуется, чтобы было два различимых класса точек, так как только этим путем и можно сохранить их качественное своеобразие. Но что же оказывается дальше? А дальше оказывается, что эти два класса разделены только одной и единственной точкой, что конец правой стороны линии, точка разделения и начало левой стороны линии оказываются одной и той же одной и единственной точкой. Это и значит, что синее переходит в голубое постепенно, непрерывно[36].
Таким образом, если под аксиомой Архимеда лежит интуиция раздельных тел, под аксиомой непрерывности в аспекте бесконечного процесса лежит интуиция пустого и темного пространства, то под аксиомой Дедекинда лежит интуиция поля, качественного пространства, расцветающего в непрерывном разнообразии своих красок.
Интересным является также и постулат Кантора о непрерывности, вызванный сходными же интуициями. Кантор[37] [38] говорит: если на прямолинейном отрезке ОМ имеется два неограниченных ряда отрезков OA, OB, ОС, OA', OB', ОС… из которых первые растут, а вторые уменьшаются таким образом, что отрезки АА', В В', СС… постоянно уменьшаются и в конце концов становятся меньше всякого данного отрезка, то на отрезке ОМ существует такая точка X, что ОХ больше, чем все отрезки первого ряда, и меньше, чем все отрезки второго ряда.
В этом постулате Кантора лежит тот же принцин, что и у Дедекинда, но в то время как последний подчеркивает в одном энергийном образе момент устойчивости, стабильности процесса нарастания, у Кантора, наоборот, подчеркивается момент подвижности этого нарастания. У Дедекинда каждая точка процесса квалифицируется сразу тройным образом — как конец предыдущего периода, начало последующего и как точка, отделяющая одно от другого. У Кантора, наоборот, каждая точка процесса мыслится как только достигаемая в этом тройном смысле; она как бы еще только собирается быть концом одного, началом другого и разделением. Обе картины — и Дедекинда, и Кантора — рисуются на фоне синтетически–качественной, энергийной выразительности. Постулат Дедекинда, другими словами, есть диалектический синтез постулата Архимеда и постулата становящейся непрерывности (синтеза) при посредстве постулата Вейерштрасса.
1. Формулировка аксиом непрерывности, развитая в предыдущем параграфе, легко приобретает и чисто арифметическое, и чисто геометрическое значение, стоит только «числа» заменить «отрезками» (или другими геометрическими понятиями). Поэтому нет нужды загромождать изложение отдельной формулировкой принципа непрерывности в арифметике и в геометрии.
Стоит, может быть, только остановиться на этой аксиоме в применении к теории множеств и к теории вероятностей, так как здесь существует в математике более своеобразная терминология.
2. Что касается теории множеств, то здесь учение о непрерывности можно формулировать при помощи понятий полного и сцепленного множества, которые определяются следующим образом. Сцепленное множество есть то, в котором между каждыми двумя элементами можно иметь еще один элемент. Ясно, что понятие сцепления возникает на основе категории непрерывности в аспекте его становления (аналогично § 59.5). Полным называется такое сцепленное множество, в котором присоединение каждого нового элемента делает этот последний или наибольшим, или наименьшим. Нетрудно заметить и здесь некоторую аналогию с учением о непрерывности в аспекте ее полноты или непроницаемости (§ 59.4). В теории множеств непрерывным множеством и называют такое упорядоченное множество, которое является и сцепленным, и полным. Следовательно, аналогия с моментом ставшего (§ 59.6) должна привести к понятию предела. Самым общим положением здесь явится теорема Больцано — Вейерштрасса: «Всякое бесконечное ограниченное множество имеет хоть одну предельную точку».
a) Наконец, теория множеств выработала также большое учение, основанное на эманативно–выразительном понимании непрерывности. Конечно, можно было бы, в сущности, ограничиться и вышеприведенными постулатами Кантора и Дедекинда. Однако здесь они звучат достаточно отвлеченно, и теория множеств обладает в этом отношении более развитыми тезисами.
Именно, здесь прежде всего интересно определение континуума, данное Кантором. По Кантору, континуум есть совершенно–связное точечное множество. Чтобы понять диалектику этого понятия, вспомним некоторые основные определения из теории множеств.
b) Точка множества, не являющаяся для него предельной точкой, называется изолированной, и состоящее только из таких точек множество есть изолированное. Зато когда оно не содержит ни одной такой изолированной точки, оно называется плотным в себе. Однако множество может содержать свои предельные точки вне себя. В случае, когда оно содержит в себе все свои предельные точки, оно называется замкнутым. Замкнутое множество, когда оно не может быть представлено в виде суммы двух замкнутых множеств без общих точек, называется связным множеством. Другими словами, связность относится к предельным точкам множества так же, как сцепленность просто — ко всем точкам множества. И наконец, множество, которое является плотным в себе и замкнутым сразу, является совершенным множеством. Следовательно, совершенно–связное множество есть такое, которое состоит только из одних предельных точек, причем эти последние таковы, что между каждыми двумя из них можно указать еще одну такую же предельную точку.
Отсюда выясняется и все диалектическое строение континуума. Именно, для того чтобы существовал континуум, необходимо прежде всего сцепленное и полное множество. Сцепленность и полнота, вместе взятые, уже создают собою некоторую непрерывность. Однако что это за непрерывность в смысле диалектической судьбы самой непрерывности? Несомненно, сцепленность и полнота создают непрерывность только как бытие, как едино–раздельную структуру, т. е. как нечто только смысловое, только идеальное. Ведь континуум есть вид упорядоченности. Сцепленность и полнота тоже суть виды упорядочения. Но раз есть упорядочение, тем самым уже есть едино–раздельная структура, последняя же, взятая как такая, всегда есть нечто идеальное для того, в отношении чего она является структурой. Следовательно, непрерывность в смысле сцепленности и полноты множества есть идеальный момент континуума, бытие континуума, его едино–раздельная идеальная структура.
Далее, бытие, знаем мы, переходит в становление и непрерывность превращается в становящуюся. Содержится ли этот момент в континууме, как последний определен у Кантора? Несомненно, содержится. Уже понятие сцепления содержит в себе не только момент объединения (что необходимо для едино–раздельной структуры), но и момент специфического объединения, а именно такого, когда единораздельность мыслится как бесконечный процесс (поскольку сцепленность множества требует нового элемента между каждыми двумя, как они близкими ни были [бы] друг в отношении друга). Стало быть, континуум в смысле Кантора есть не только идеальное бытие, но он содержит в себе и переход в инобытие, в становление, т. е. непрерывность, лежащая в его основе, перестает быть плоской, изолированной, она покрывается новым слоем, углубляется, получает рельеф и тем самым стремится быть выразительным.
Однако, прежде чем перейти в сферу выразительности, еще необходимо перейти от становления к ставшему, к выражению внутреннего через отвлеченное задание, т. е. перейти к пределу. Последнее дано в определении континуума у Кантора при помощи моментов плотности в себе и замкнутости, входящих в понятие совершенного множества. Поскольку в этих моментах речь не просто о непрерывности, но и о пределах, момент ставшего уже оказывается включенным.
Однако и этого мало. В континууме Кантора даны не только предельные точки, они сами тоже вовлечены в новый поток становления, поскольку в нем мыслится еще и <…> связность. Но когда мы говорили об энергийно–выразительном, или эманативном моменте числа, мы как раз и мыслили становление, но не то становление, когда смысл впервые только еще вступает в свое инобытие и в нем погасает, но такое становление, когда смысл снова нашел себя в инобытии, растворился в нем, расцвел в нем и на нем, когда становление стало снова (…) включивши в себя, однако, и смысловой результат всех своих субстанциональных положений. Момент связности в Канторовом континууме, заставляющий сливаться в непрерывность уже не просто отдельные точки множества, но именно все его предельные точки, и демонстрирует для нас эту энергийную выразительность, которой не было в непрерывности на ступени ее идеально–бытийственной структуры.
с) Таким образом, в Канторовом континууме мы находим по крайней мере три различных диалектических слоя, совпадающих с обычной триадой: идеальный слой едино–раздельной структуры (полнота и сцепленность), реальное становление ее, или переход в инобытие (сцепленность), и — через ставшее как момент предела (плотность в себе и замкнутость)—синтез того и другого (связность), когда идеальная непрерывность снова находит себя в бесконечно–предельном процессе инобытия (связное совершенное множество).
d) Сравнивая это учение с постулатом Дедекинда, мы не можем не заметить явного превосходства учения Кантора над Дедекиндом. В то время как у Дедекинда (и Кантора) в постулате непрерывности имеется в виду ее обрисованность, ее зрительно–мотивированный переход от одного качества к другому, в учении Кантора о континууме подчеркнут момент понимания выразительного слоя непрерывности. Ведь здесь эта непрерывность вся перекрыта предельными точками. Это значит, что вся она состоит из точек, притягивающих к себе, из точек–идеалов, из точек–целей, из тех эманаций, которые своим исхождением из сущности привлекают к ней, вовлекают в свою стихию и своим привлечением к сущности всего чужого заставляют исходить ее вовне <…> бесконечными энергиями исхождения. Если под аксиомой непрерывности Дедекинда лежит интуиция разноцветных, но непрерывно взаимопереливающихся полей, то Кантор, строя свое учение о континууме, несомненно, исходил (может быть, тайно от себя самого) из образа таких же полей, но скомбинированных в ту или иную фигурную предметность, т. е. из той непрерывности, которая свойственна реальной комбинации реальных же вещей.
Когда мы рассматриваем, напр., цветок, то уже по одному тому, что он есть нечто целое, он есть и нечто в себе непрерывное. Тем не менее мы видим на нем несколько разных красок, напр. желтое на пурпурном и все вместе — на зеленом стебле, и мы видим тут много разных оттенков одного и того же цвета. Если бы мы просто фиксировали все это разнообразие, как собрание взаимно–изолированных вещей или красок, для нас достаточно было бы в смысле конструирования непрерывности[39] уже аксиомы Архимеда (§ 59.4). Если бы мы отвлеклись от всякой раздельной предметности и рассматривали бы цветок, не обращая внимания на стебель, листья, чашечку и пр., а исключительно только бы с точки зрения непрерывного перехода одного цвета в другой, нам достаточно было бы аксиомы Дедекинда и Кантора о непрерывности. Но когда каждый момент рассматриваемого цветка фиксируется не просто сам по себе, но как притягивающий к себе, заставляющий фиксировать именно его, когда он целесообразно группирует вокруг себя все прочее и является целью для всех других моментов, другими словами, когда вся эта непрерывность есть непрерывность пределов, тогда возникает континуум Кантора; и тогда перед нами начинает расстилаться непрерывность фигуры цветности, а не просто самой цветности; тогда перед нами та непрерывность в цветке, в букете, в человеческом лице, в разноцветном небе раннего солнечного восхода или позднего заката, — словом, везде, где разнообразие цветностей вызвано тем или другим прерывно–смысловым, а не чисто же цветностным принципом. Есть ведь какая–то непрерывность, разлитая по всему букету, несмотря на всю его раздельность и многоразличие входящих в него цветов. И ее не может не быть, так как, прервись она хотя бы на одно мгновение, букет уже распался бы на две или больше различных вещей. И вот эта–то — уже фигурная — непрерывность и есть континуум Кантора. Это и в диалектически–терминологическом, и в житейски–буквальном смысле выразительная, энергийная, эманативная, понимаемая непрерывность[40].
3. Что касается теории вероятностей, то категория непрерывности тут имеет гоже богатое применение, хотя, кажется, здесь и не дано столь ярких формулировок, как в теории множеств. Самым отвлеченным и самым примитивным теоретико–вероятностным пониманием непрерывности является то, что здесь называют геометрической вероятностью.
Основной интуицией для этой последней является линия или плоскость и составленность того или другого из точек. Если наша вероятность такова, что число возможных случаев равно числу возможных положений точки на прямой или на плоскости (или числу положений прямой в пространстве и т. п.), то такая вероятность будет непрерывной. Если бы мы стали спрашивать, какова вероятность вообще положения точки Μ на прямой Л В, то эта задача ввиду непрерывности данной прямой была бы вполне неопределенна. Но мы можем на данной прямой взять какой–нибудь отрезок <CD> и сравнивать вероятность положения точки Μ на <CD> с длиной <1 CD> и <1AB> Тогда задача получает определенность и мы сможем выставить такой принцип: вероятность того, чтобы точка Μ оказалась на определенном отрезке <CD> прямой А В, пропорциональна длине этого отрезка. Отсюда следствие: если Μ во что бы то ни стало находится на А В, т.е. вероятность этого ее нахождения равна единице, то вероятность ее нахождения на (CD) равна<
Этот принцип непрерывной вероятности дает возможность решать массу задач, например, хотя бы знаменитую задачу о попадании иглы в ту или иную параллель [линий], начерченных на горизонтальной плоскости (задача эта была решена еще Бюффоном). Большинство задач подобного рода требует, однако, применения методов интегрального исчисления.
1. Достигнутая нами ступень числового становления имеет значение не только сама по себе, но она получает новое глубокое значение и в смысле взаимоотношения с предыдущей группой аксиом. Дело в том, что отвлеченно–диалектическое становление, математически специфицируемое в категорию непрерывности, будучи приложено к аксиомам предыдущей группы, впервые делает возможной разнообразную их модификацию — соответственно своей принципиальной алогичности, а предыдущие аксиомы едино–раздельности, будучи приложены к чистому алогизму непрерывности, впервые делают возможным получение различных новых оформлений уже из этого алогического материала непрерывности.
Остановимся сначала на воздействии, получаемом от аксиом непрерывности аксиомами едино–раздельности в арифметике.
2. а) Что касается арифметических аксиом едино–раздельности, то их видоизменение в зависимости от категории становления выясняется тотчас же, как мы вникнем в сущность становления, инобытийного, как мы знаем, в отношении идеального. Становление потому и есть становление, что оно есть выход смысла наружу, самоотчуждение смысла. Его мы поэтому называем еще алогическим. Алогичность в том и заключается, что она вносит вне–логический принцип. Так, например, идеальная структура логически предполагает категории различия, тождества, движения и пр. вида <…> привходит алогический принцип, то он может на любом моменте приостановить логическое следование категорий и, следовательно, взять их в какой угодно комбинации, в какой угодно несвязанности. С другой стороны, только если целиком проводить принцип становления, или непрерывности, можно поручиться, что все логически выведенные категории действительно имеют реальный смысл. Ибо может оказаться, что логически–то мы вывели их правильно, а реально они осуществляются частично и враздробь. Итак, категория непрерывности, примененная к категориям едино–раздельности, впервые ставит вопрос об их реальном и совокупном действии, впервые исследует формы осуществления всех категорий, из которых диалектически выросло число.
b) Имея это в виду, можно исследовать полученные нами до сих пор аксиомы. Скажем вообще, что результатом этого исследования должно явиться учение об арифметических операциях, действиях. Больше всего это понятно на аксиоме самотождественного различия (§ 25). Если эта аксиома гласит, что из всяких а и b составляется некое вполне определенное с, то в этом смысле она еще не была учением об арифметической операции сложения. Эта аксиома, если ее брать в строгом и собственном смысле слова, гласит только, что всякое число есть некая составленность из каких–нибудь единиц–элементов. Тут ставилось ударение на самой этой составленности, на ее результате, на с, а не на а + b. Чтобы сосредоточиться не на результате составленности, а на самом процессе этого составления, нужно мыслить себе некий алогический фон, на котором и развертывалась бы эта картина процесса составления, т. е. необходимо выдвижение на первый план момента становления. Поставивши акцент именно на становлении с, на самый процесс складывания а + bу мы и получаем категорию арифметического сложения (и, стало быть, вычитания).
Также можно было бы показать, что раздельное применение категории подвижного покоя дает операции умножения и деления, а применение на[41] категории определенности — операции возвышения в степень, извлечения корня и логарифмирования. Однако мы не будем тут производить этих дедукций, так как им посвящается в дальнейшем специальный отдел диалектики арифметики; и это было бы уже превращением аксиоматики в диалектику уже реального состава науки, чего следует избегать. Аксиоматика только дает, как мы говорили, перспективу на науку, а не самое содержание науки.
c) Однако уже тут мы видим, что приложение принципа непрерывности к аксиомам едино–раздельности дает нам в руки очень важное орудие. Прежде всего мы получаем возможность рассматривать полученные категории в их процессуальном становлении. Мы получаем возможность осуществлять каждую полученную категорию в ее изолированном виде, отвлекаясь от ее логической связи с другими категориями (потому–то становление и есть алогический принцип). Мы, наконец, впервые получаем возможность взять все их и вместе, в то время как раньше они только логически предполагали одна другую. В частности, не что иное, как именно принцип непрерывности и становления, дает возможность распространить законы ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности на всю сферу арифметических чисел. Раньше речь могла идти только о самих законах как таковых, теперь речь идет об их всеобщей приложимости, вытекающей из того только, что тут мы имеем дело вообще с арифметическим числом.
d) Впрочем, если гнаться за логической точностью и последовательностью, то, в сущности говоря, на рассматриваемой диалектической ступени мы еще не имеем права говорить о законах счета в полном объеме, хотя они уже выведены, и притом еще на предыдущей — едино–раздельной ступени. Дело в том, что вся едино–раздельная ступень есть ступень только идеального смысла, если под реальным понимать непрерывное или прерывное ее осуществление. Этим мы действительно вывели как арифметическое действие, так и законы счета (т.е. законы ассоциативный, коммутативный и дистрибутивный). Однако, согласно общему идеальному характеру сферы едино–раздельности, нужно считать, что там выведена только категория арифметического действия и категория законов счета. Теперь, когда мы стоим на базе непрерывности, мы можем превратить эту отвлеченную категорию действия и закона счета в реальные действие и счет. Реальное действие предстает перед нами в виде многочисленных арифметических операций. Однако представить себе тут же в развитой форме и законы счета как всеобще–значимые мы еще не можем, так как здесь мало одного принципа непрерывности. Ведь последний гласит только о непрерывном следовании и равномерном развертывании идеальной, едино–раздельной структуры, но еще ничего не говорит о комбинирующих функциях этой непрерывности. Для того чтобы складывать, умножать и пр., нужно только знать, что счет как идеальная значимость, т.е. попросту счет как перебегание по натуральному ряду чисел, зависит только от своих количественных заданий и что самая эта операция ровно ничего от себя не привносит в эти последние. Это только и содержится в арифметической аксиоме едино–раздельности, и это с привнесением принципа непрерывности разветвляется на отдельные типы арифметических операций. Когда же ставится вопрос о законах счета (в смысле ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности), то тут надо кроме этого еще быть уверенным, что не только самая операция не привнесет ничего нового в сравнении со своими количественными заданиями, но ничего нового не привнесет и тот самый натуральный ряд чисел, путем пробегания по которому вперед и назад мы осуществляем данную операцию. Позже (§ 65) мы увидим, что эта уверенность возникает только на основе аксиомы конгруэнтности> которая только впервые и обеспечивает полное и безразличное осуществление и использование в арифметике законов счета, которые, однако, в виде идеальной и отвлеченной структуры выведены уже на ступени едино–раздельности.
3. Далее, в геометрии мы получаем, очевидно, разные фигуры, образец выведения которых дан выше, в § 55. Если там была дана и общая дедукция фигуры, то здесь ввиду наличия реального континуума необходимо говорить уже об их осуществлении, в то время как прочие категории (конгруэнтности, метрики и пр.) в дальнейшем еще более специализируют у нас наше геометрическое построение.
4. В теории множеств соответственно мы находим учение об искомых операциях, которые, как это и должно быть, вполне специфичны, как специфичны и способы построения геометрических фигур, хотя, в сущности, это есть только разная комбинация на основе непрерывности все так же основных категорий идеальной едино–раздель–ности.
a) Так что понимается в теории множеств под сложением! Это такая операция, в результате которой 1) каждый элемент из нового множества ( = из суммы) принадлежит какому–нибудь из слагаемых множеств и 2) всякий элемент любого слагаемого множества принадлежит новому множеству. Сумма тут есть единственное вполне определенное множество. Надо строго различать множество самих слагаемых и множество их элементов. Элемент слагаемого есть элемент и суммы, но само слагаемое не есть элемент суммы, а только его часть (потому что одно множество есть часть другого, если все его элементы принадлежат к этому последнему). В связи с этим надо точнейшим образом себе уяснить, что множество ни в коем случае не есть сумма своих элементов. Представление о множестве как сумме возникает только при условии наличия слагаемых как множеств, так что сумма есть всегда сумма множеств, а не сумма элементов, или, иначе, множество есть сумма всех любых множеств из его элементов (особое множество—то, которое состоит только из одного элемента). При «нулевой ино–бытийности» арифметического числа эти свойства сложения не были так ярко выражены в арифметике. В теории же множеств, которая вся строится на идее специфического порядка, различие между элементом и частью обладает принципиальным значением даже в такой простейшей операции, как сложение. Категория самотождественного различия дана тут более выпукло потому, что она осуществлена на материале континуума, хотя континуум тут и вобран в само число и внутренно отождествлен с ним (что и породило собою, как мы знаем, самую категорию множества).
b) Еще яснее можно видеть осуществление категории подвижного покоя, именно — в т.н. умножении. В теории множеств произведением системы множеств называется множество таких элементов, из которых каждый принадлежит одному какому–нибудь множеству данной системы, а в каждом множестве данной системы есть один, и только один, элемент, входящий в это первое множество. Таким образом, здесь мы имеем в виду, собственно говоря, взятие общей части, потому что здесь берется множество тех элементов, которые являются общими для всех данных (перемножаемых) множеств. В то время как для сложения и вычитания достаточно было только растянуть все элементы слагаемых в одну, так сказать, линию (забывши, что такое множество каждого из таких слагаемых) и рассматривать полученные элементы как нечто целое и тем самым модифицировать категорию самотождественного различия с точки зрения непрерывности, здесь, в умножении, мы должны сначала сравнивать перемножаемые[42] множества, перебегая от одного к другому, с целью достигнуть успокоения, которое только тогда и может быть получено, если мы в результате этого сравнения получим нечто общее, одинаковое. И тогда, сколько бы мы ни бегали, мы будем бегать только, так сказать, в одном и том же круге, т. е. будем, в сущности, стоять на месте. Это–то и есть теоретико–множественное понимание «умножения».
5. Теория вероятностей также обладает рядом операций, которые в смысле отвлеченного принципа ничем не отличаются от категорий идеальной едино–раздельности, но которые по своему видоизменению в связи с принципом непрерывности приобретают ряд оригинальных черт, усиленных, конечно, кроме того, еще и своеобразием самой теории вероятностей. Тут мы имеем теорему сложения вероятностей: если событие [А ] состоит в поступлении одного из двух несовместимых фактов а и b, причем вероятность а=рх и вероятность b=р2, то вероятность Α=ργ+ρ2. Тут мы имеем теорему умножения вероятностей, касающуюся уже совместимых событий: вероятность совмещения событий А и В равна произведению вероятности события А на вероятность, которую приобретает событие В, когда становится известным осуществление факта А. Некоторым осложнением тех же категорий является, например, понятие математического ожидания, равного алгебраической сумме произведений каждого возможного значения данной величины на его вероятность, причем для математических ожиданий существует также своя теорема сложения. Имеет полную реальность и возведение вероятности в степень (когда исчисляется вероятность осуществления определенного числа из рассматриваемых событий при указанном числе опытов). И т.д.
Предыдущий параграф трактовал о воздействии аксиом непрерывности на аксиомы едино–раздельности. Теперь сделаем краткие замечания относительно воздействия последних аксиом на первые.
1. Общим отличием этой области аксиоматики является то, что мы ставим здесь ударение на самой непрерывности и что, следовательно, оно только отражает на себе те или иные категории едино–раздельности. Уже это одно устанавливает одну общую тему для всех возможных здесь суждений, а именно тему длительности, рас–ставленности, некоей процессуальное, которая устанавливается здесь взамен отвлеченно–числовой сферы едино–раздельности.
a) В арифметике мы здесь уже не можем оиерировать только с отдельными числами, так как мы их получили уже на предыдущей диалектической системе. Поскольку в сфере непрерывности речь идет об инобытии в отношении всего числа как такового, мы можем здесь говорить только о некоей сплошной, неразделимой процессуальное. Но поскольку эта неразличимость берется на данной стадии нашего исследования не сама по себе, а лишь в свете различимых установок аксиом едино–раздель–ности, то она теряет свою сплошность и заменяет ее разрывными моментами, в результате чего от непрерывности остается только последовательность. Непрерывность в свете едино–раздельности есть последовательность. Типы ее и должна установить аксиоматика, — конечно, только в отвлеченно–принципиальном виде как мерило и исходную точку зрения для ищущих конкретных анализов.
b) В арифметике мы имеем здесь дело, очевидно, с т. н. рядами, т. е. последовательностями, чисел, имеющими определенную структуру. Примитивным образцом этих рядов является арифметическая и геометрическая прогрессия, известная еще из элементарной алгебры. К этим рядам применима структура в зависимости от тех операций, которые мы установили выше. Если мы говорим, что в данном месте непрерывность нами рассматривается в свете едино–раздельности, то очевидно, что структура и должна определяться этой едино–раздель–ностью. А последняя свою наиболее зрелую форму получила у нас как раз в виде элементарно–математических операций. Так мы получаем ряд важнейших понятий высшей арифметики, которые мы рассмотрим в своем месте и для которых сейчас производим только общеаксиоматическую принципиальную установку, а именно: они все суть результат обработки аксиомы непрерывности с точки зрения аксиом едино–раздельности. Речь идет о группах целых чисел, определяемых теми или другими операциями. Если имеются в виду операции сложения и вычитания, говорят о модуле; если — умножение и деление, говорят о луче; если — сложение, вычитание и умножение, говорят о кольце (по примеру Гильберта Кронекер говорил «область целости» <…>); если, наконец, применяются все четыре основные операции, употребляют термины «тело», «корпус», «поле» (англичане), «область», «область радикальности» «…) — Кронекер).
Можно себе представить также и числа на основе отсутствия принципа непрерывности. Их можно было бы назвать неархимедовыми числами по аналогии с геометрией, в которой отсутствует Архимедов принцип непрерывности и о которой мы упомянем ниже, в § 2е.
2. Немного подробнее, но все же не входя в специальный анализ, а лишь намечая аксиоматическую перспективу этого анализа, мы скажем и о геометрической области рассматриваемой модификации. Тут тоже принцип становления дает нам впервые возможность как осуществлять каждую категорию едино–раздельности изолированно от прочих, хотя между ними и непосредственная логическая связь, так и осуществлять их во всей их совокупности и цельности, принимая во внимание ориентацию сферы становления. Историческая геометрия выработала здесь следующие формы.
а) Прежде всего мы можем оставить неприкосновенной только группу аксиом подвижного покоя и игнорировать все прочие аксиомы. Что это будет значить в смысле оформления изучаемой сферы становления? Это будет значить, что в наших геометрических фигурах мы будем соблюдать только последовательность элементов, и притом — так как теперь речь идет о применении к непрерывности принципа этой изолированной категории — мы теперь (будем) соблюдать в геометрических фигурах только непрерывную последовательность их элементов. Поскольку аксиомы самотождественного различия тут не соблюдаются, мы уже не сможем здесь отличать, например, прямую от кривой. А поскольку здесь не соблюдаются и аксиомы определенности, постольку в такой геометрии мы и вообще будем отвлекаться от точного вида фигур. Кто знает о дисциплинах геометрии, тот не может не догадаться, что тут мы сталкиваемся с так называемой топологией, или [analysis situs].
Примером топологического учения является известная теорема Эйлера о многогранниках. Оказывается, независимо от вида сомкнутого многогранника сумма его граней и вершин на два больше числа его ребер. Из этой теоремы получается много очень важных выводов, например что во всяком многограннике должны находиться или треугольные грани, или трехгранные углы, что не может существовать многогранник, всеми гранями которого служат многоугольники[43] с числом сторон больше пяти; например <…>. Эта теорема, таким образом, относится к любому виду многогранника, лишь бы это был именно многогранник. Известны еще задача Кёнигсберг–ских мостов, игра с додекаэдром Гамильтона и пр. построения, которые являются <…>.
b) Далее можно присоединить к аксиомам подвижного покоя еще и аксиомы самотождественного различия. Мы, следовательно, оставляем инвариантной не только непрерывную последовательность фигуры, но и непрерывность, ненарушаемость ее вида, хотя все еще жертвуем аксиомами определенности, т. е. наша геометрическая фигура как бы вся целиком претерпевает разнообразные изменения. Так, когда мы видим предмет в перспективе, то сам по себе он нисколько не меняется ни по виду, ни в смысле порядка своих элементов, и тем не менее мы видим его в той или другой форме, несходной с видом, присущим ему как таковому. Этими свойствами фигур занимается проективная геометрия. Принцип вариации геометрических фигур понимается тут именно в моменте определенности бытия фигуры, но не в моменте вида или порядка элементов, из которых она состоит. Эти свойства фигур называют дескриптивными или проективными, противополагая их математическим свойствам фигуры, как это установили В. Фидлер и Ф. Блейн. Их можно назвать, если угодно, и «оптическими» свойствами фигур в отличие от топологических, которые удобно аналогизировать с мускульными ощущениями.
c) Наконец, мы можем строить геометрию, исходя из всех трех групп аксиом едино–раздельности, т. е. мы можем не только соблюдать порядок элементов, ограничиваясь свойствами, инвариантными к любым непрерывным преобразованиям, или соблюдать дескриптивный вид фигуры, ограничиваясь свойствами, инвариантными к группе коллинеаций, но мы можем потребовать, чтобы соблюдалась и категория определенности бытия, т. е. чтобы фигура бралась в неизменности всех своих свойств, чтобы на фигуру была бы уже раз навсегда установлена одна перспективная точка зрения, а именно та, которая не зависит от точки проекции и вполне адекватно фиксирует царящие в ней отношения. Такая «адеквация», однако, все же есть условность. Она предполагает ту или иную метрическую операцию, которая принимается за данную. Мы тем или другим способом измеряем линию или отрезок и в соответствии с этим строим свои фигуры. Непрерывность, рассмотренная с точки зрения принципа определенности, есть не что иное, как принцип измеримости. Однако мы еще не знаем, что такое непрерывность, и потому покамест тут мы еще не строим цельной геометрии, а только обсуждаем общую базу для будущих принципов метрики. Общая метрическая геометрия поэтому есть то, что возникает на основе всех трех аксиом едино–раздель–ности, рассмотренных совокупно с принципом непрерывности.
Однако в своем настоящем виде она может быть развита только на основе принципов конгруэнтности и параллельности, которые мы еще не вывели[44], и потому невозможно назвать метрикой получающуюся здесь геометрию в собственном смысле. Геометрия, возникающая на основе всех трех групп аксиом едино–раздель–ности, есть то, что называется синтетической геометрией. Это та геометрия, в которой равномерно и адекватно представлена логически целостная фигурность и которой недостает только метрического уточнения, чтобы стать обыкновенной элементарной геометрией.
Таким образом, под синтетической геометрией здесь у нас понимается не то, что назвал этим именем Шаль, выпустивший под таким названием свой знаменитый труд по проективной геометрии. Во времена Шаля эта геометрия полемически противополагалась аналитической геометрии, слишком увлекавшейся отвлечением от всякой наглядности. Аналитической геометрии противопоставляли геометрию, основанную на чисто дескриптивном методе и не зависимую ни от какого вычисления. Однако если рассуждать строго логически, то проективная геометрия вовсе не есть полная противоположность аналитической, так как последняя предполагает не только то абстрактное понимание фигуры, какое свойственно проективной геометрии, и основывается на допущении коллинеаций, но предполагает именно полную и конкретную фигурность, хотя и выражает ее уравнениями и функциями. Аналитическая геометрия есть противоположность синтетической, если последнюю понимать не как проективную, а именно в нашем смысле. Таким образом, если не геометрически, то логически наше понимание этого термина более основательно, хотя свое реальное значение эта синтетическая геометрия получает только с присоединением принципов конгруэнтности и параллельности. До этого присоединения она отличается от проективной только исключительно всей перспективой[45] точки зрения на фигуру и сосредоточением на последней как на таковой.
d) Необходимо заметить, что, в сущности, все три группы аксиом едино–раздельности действуют всегда и везде и речь может идти только о примате[46] той или другой группы. Ведь логическая связь, раз она однажды установлена, уже не может исчезнуть в абсолютном смысле. Она может только отступать, она может быть перекрыта и, стало быть, скрыта какими–нибудь внелогическими связями. Но так или иначе, латентно, она всегда как–то присутствует. И вот, можно сказать, что топология выдвигает на первый план аксиомы подвижного покоя, проективная геометрия—аксиомы самотождественного различия и синтетическая геометрия—аксиомы определенности — на общем фоне.
3. Прежде чем, однако, дать диалектические формулы вышевыведенным типам геометрического построения, мы внесем, во–первых, одно уточнение и, во–вторых, попробуем осознать относящийся сюда математический материал.
а) Яснее всего и проще всего положение топологии. Тут невозможно сказать, что исключается коллинеация, т. е. исключаются аксиомы самотождественного различия. Присоединяем теперь к категории подвижного покоя категорию самотождественного различия и оставляем неприсоединенной категорию определенности. Что в этих целях мы получим последовательность точек вместе с сохранением коллинеации, это тоже ясно. Но нельзя ли конкретнее описать значение отсутствия категории определенности? Это сделать можно и нужно, и тут–то и начинается подлинная работа диалектики математической науки.
А именно, в чем, собственно говоря, заключается абстрактность проективной геометрии в сравнении с обычной метрической? Проективная геометрия основана на перспективной точке зрения. Перспектива искажает фигуры; и вот — проективная геометрия синтезирует эти искажения. Она сохраняет коллинеацию как принцип, но она всячески требует коллинеарные связи, занимаясь в то же время только инвариантами в отношении всех этих деформаций. Что нужно для того, чтобы покончить[47] эти деформации и чтобы если они есть, то учитывать их как таковые, не отвлекаясь от их специфических свойств? Математика учит, что для этого надо принять во внимание существование бесконечно удаленной точки (или прямой) в качестве центра проекции. При таком центре все лучи зрения окажутся параллельными, и тем самым будет исключена всякая перспективная деформация фигуры. Следовательно, введение бесконечно удаленной точки внесет с собою определенность фигуры. Мы тут начинаем смотреть на фигуру с бесконечности, или, другими словами, начинаем смотреть на нее вне зависимости от расстояния. Проективная геометрия зависит от этого расстояния, хотя и отвлекается от вносимых им деформаций. Та же геометрия, которая построяется при помощи бесконечно удаленной точки, не зависит от этого, и потому изучаемые ею фигуры гораздо строже и конкретнее. Другими словами, категория определенности несет с собою исключение проективности и включение бесконечно удаленной точки. Пока не было определенности, пространственные расстояния вносили в фигуру свои деформации, а, чтобы отвлечься от них, проективной геометрии приходилось принимать во внимание только слишком абстрактные моменты фигуры. Теперь зависимость от пространственных расстояний исключается, и при этом точным диалектическим аналогом внесения бесконечно удаленной точки является внесение категории определенности (т. е. структурной определенности, фигурности) бытия. >
b) Но, как известно, включение бесконечно удаленной точки превращает проективную геометрию не в метрическую, а только в аффинную. Аффинные преобразования отличаются от проективных соблюдением параллельности, т. е. соблюдением углов, в то время как проективные преобразования соблюдают только коллинеацию. Аффинная геометрия поэтому гораздо конкретнее, но все же инвариантом аффинитета является только уточнение параллельных отрезков. Аффинное преобразование есть, следовательно, равномерное растяжение или сжатие пространства по трем взаимно перпендикулярным направлениям. Поэтому геометрия, названная у нас выше метрической, или синтетической, вовсе не есть объединение трех основных категорий — подвижного покоя, самотождественного различия и определенности бытия. Таковым является пока только аффинная геометрия. Что же такое настоящая метрическая геометрия или, лучше сказать, настоящая синтетическая геометрия, т. е. та, в которой будут исключены даже те параллельные <…>, на которых стоит аффинная геометрия?
c) Вопрос этот крайне важен, и должна быть [в нем ] абсолютная диалектическая точность и ясность. Если мы обратимся к математике, то нас поразит ответ, даваемый ею на вопрос о переходе аффинной геометрии в метрическую. Этот ответ полон глубочайшей тайны; и, по–моему, из математиков еще никто не проанализировал его философски и логически, хотя Штаудт, Клейн и др. достигли полной ясности представления относительно математического значения этого ответа.
Ответ этот таков. Известно, что всякий круг пересекается с бесконечно удаленной прямой в одних и тех же двух постоянных мнимых точках (т. н. циклических точках) и, — соответственно, шар пересекается с бесконечно удаленной плоскостью по одному и тому же мнимому коническому сечению, кругу. Необходимость двух мнимых точек для всякой кривой второго порядка явствует аналитически из того, что пересечение двух кривых второго порядка дает четыре корня двух квадратных уравнений, в то время как вещественно эти кривые пересекаются только в двух точках. И вот оказывается: если присоединить к геометрической системе не только бесконечно удаленную точку (или плоскость), но и упомянутый мнимый круг, то из проективной геометрии вместо аффинной мы получаем метрическую. Этот ответ потрясает; и невозможно успокоиться, покамест не дашь ему достаточной философской интерпретации. Ведь речь ни больше ни меньше как о том, различать ли нам квадрат и прямоугольник или не различать. Ведь аффинная геометрия не различает этого. И вот оказывается: для того, чтобы иметь возможность различать квадрат и прямоугольник, надо ввести существование мнимого круга, по которому всякий вещественный шар пересекается с бесконечно удаленной плоскостью. Это учение производит настоящее мистическое впечатление, как бы ясно мы ни представляли себе, что квадратное уравнение имеет два корня, а два квадратных уравнения имеют четыре корня, что из них два корня мнимые, и т. д. и т. д. Попробуем разобраться здесь философски и диалектически, и это будет первая диалектика перехода от аффинности к метрике, первая — за все время существования и геометрии, и диалектики.
d) Нам надо, чтобы квадрат отличался от прямоугольника и круг от эллипса. Как связаны между собой квадрат и прямоугольник? Прямоугольник есть параллельная проекция квадрата. Следовательно, наш вопрос стоит так: как возможна проекция? Отвлекаясь от проек–тических (.··)> мы должны сказать, что проекция есть отображение первообраза на его инобытие. Что для этого нужно? Для этого 1) нужно, чтобы кроме первообраза было и его инобытие. Для этого 2) нужно, чтобы инобытие приняло на себя первообраз. Для этого 3) нужно, чтобы принятие на себя первообраза инобытием было не чисто образным (ибо тогда мы остались бы в сфере (…) первообраза) и не чисто инобытийным (ибо тогда мы остались бы в сфере только инобытия), но чтобы оно было именно отобразительным понятием, отображением. Что же это значит — принять на себя образ, но принять не вещественно, а образно же? Первообраз и его инобытие встречаются, но эта встреча — не вещественная, а чисто образная, смысловая. Выбирая выражения, более близкие к математике, надо сказать, что первообраз и его инобытие пересекаются, но пересекаются не вещественно, а мнимо. Позже (§ [105—107]) мы разовьем специальное учение о мнимых величинах как величинах именно выразительной (в частности, и отобразительной) структуры.
Итак, отличать квадрат от прямоугольника — значит отличать проектирующее от проектируемого, а это значит признавать существование проекции. Признавать существование проекции — значит признавать существование пересечения двух вещественных фигур в мнимых точках. Все поверхности второго порядка пересекают друг друга в мнимых точках, образующих особый мнимый круг. Поэтому если есть такой мнимый круг, то проекция квадрата в виде прямоугольника возможна и, значит, квадрат отличен от прямоугольника. Если же этого мнимого круга нет, то никакая проекция вообще невозможна и поэтому, берем ли мы квадрат, берем ли прямоугольник, пред нами в обоих случаях нечто совершенно тождественное.
Вот, следовательно, в чем удивительный секрет этого мнимого сферического круга, дающего устойчивость аффинному построению и превращающего его в построение метрическое. Это есть секрет выразительных функций числового бытия. Но тут необходимо еще одно разъяснение.
е) Для отражения первообраза должно быть инобытие. Если роль первообраза в нашей системе играет само число, (…) числа, конструированный при помощи принципов едино–раздельности, то инобытием этого первообраза является, очевидно, становление, сфера принципа непрерывности. Следовательно, для конструкции метрической геометрии мы выше использовали не только категории самотождественного различия, подвижного покоя и определенности бытия, но и категорию становления. Так оно и должно быть, потому что становление гораздо ближе подходит к метрической операции, чем дескриптивные и чисто смысловые категории едино–раздель–ности. Безусловно, становление входило и в нашу конструкцию топологии, проективной и аффинной геометрии, так как на данной ступени нашей диалектической системы мы обозреваем судьбы становления в связи с отражающимися на нем категориями едино–раздельности. Но во всех этих геометриях становление явно играет второстепенную роль. Оно здесь только обусловливает собою протекание тех преобразований, которыми как таковыми как раз данные типы геометрии и не занимаются и в отношении которых являются[48] только их инвариантами. Теперь же мы выдвигаем становление на первый план, рассматривая его вполне наравне с категориями едино–раздельности, т. е. все идеальные категории едино–раздельности действительно оказываются здесь целиком воплощенными в стихии становления, и последнее действительно рассматривается с точки зрения этих категорий полностью и целиком. Что же новое дает нам эта позиция?
Стихия становления может образовать с числовым первообразом абсолютное тождество. Это бывает тогда, когда оно как таковое, в самой своей субстанции, перестает существовать. В нашем случае мы не имеем такого тождества. Становление (инобытие) остается существовать само по себе, и его единственная функция здесь — отображать первообраз. Синтез числового первообраза и его инобытия происходит здесь поэтому не в субстанциональном отношении, а только в смысловом отношении. Здесь первообраз только указывает на свое отображение в инобытии, а инобытие своим отображением указывает на первообраз. Геометрический смысл возможности этого взаимоотображения (или взаимопроектирования) и есть наличие измерения фигур, т. е. их метрическая структура. И значит, только здесь мы можем говорить о синтетической геометрии в указанном смысле, а то, что мы называли выше этим именем, есть, стало быть, только база для настоящей синтетической геометрии.
f) Мы можем сказать еще и по–иному, и это[49] может стать резюме нашего исследования.
Покамест была у нас только проективная точка зрения, мы — согласно той категории, которая управляет этой последней, — могли только различать и отождествлять геометрические фигуры и их элементы, т. е. точку понимать как точку, прямую как прямую, плоскость как плоскость <…>, погружая все прочее в хаос становления. Когда мы захотели внести сюда еще и критерий определенного бытия, то, поскольку определенность в геометрии была для нас фигурностью (§ [55 ]), мы должны были заговорить о взаимных отношениях фигур (и их элементов), а не просто только различать и отождествлять их как таковые. Фиксировать же взаимное отношение фигур—значит оперировать с ними как с конечными величинами. Чисто проективная точка зрения выше разделения на конечное и бесконечное. Аффинная же геометрия требует это разделение; отсюда и введение[50] бесконечно удаленных элементов. Следовательно, если нам нужно рассмотреть становление в свете едино–раздельности, то мы погружаем всю отвлеченную фигурность, выведенную раньше в качестве чистых категорий, в стихию категорий и — таким способом получаем разные виды становления в свете едино–раздельности. При этом каждый раз берутся именно абстрактные категории едино–раздельности, а не их наглядная воплощенность, как того и требует сама едино–раздельность, которая есть, как мы знаем, начало отвлеченное, идеальное. Сохраняя подвижной покой как отвлеченную категорию, имеем топологию, где все деформируется, кроме последовательности элементов, а сама она понимается — в наглядном смысле — как угодно. Берем самотождественное различие как отвлеченную категорию, оставляя все прочее в становлении, т. е. в сплошной деформации, — получаем проективную геометрию, где сохраняется различие элементов, но—лишь как отвлеченных понятий (прямая везде остается как прямая, т. е. как прямая вообще[51]; и не важно, какая именно это будет прямая). Наконец, если мы вводим наличное бытие как категорию и смотрим, что получается при рассмотрении становления в его свете, то мы замечаем, что тут образуется определенность, оформлен–ность, конечность, но пока тоже как принцип, потому что для аффинной геометрии важна не [52] цельная и конкретная фигура, но лишь ее конечная определенность вообще. В этом и состоит тайна параллелизма, той, в принципе, конечной определенности фигуры, когда она рассматривается не в виде отвлеченной категории просто, но в виде непрерывного становления, — [рассмотренного с точки зрения отвлеченной категории конечной определенности.
Таким же отвлеченным принципом, в свете которого рассматривается непрерывное становление, может явиться, наконец, и само становление. Но последнее тут определяет собою уже не просто конечную фигурность, но и отличие одной конечной фигурности от другой (как на стадии проективной геометрии было мало фигуры вообще, а нужно было отличие одной фигуры от другой), потому что, увлекая конечную фигуру в свою стихию, оно тем самым меняет ее на ряд других конечных фигур. Но как возможен этот бесконечный ряд конечных фигур? Он возможен только как нечто единое. Этим единым является, конечно, уже само становление. Однако такое единое есть только порожденное единое, а не самая структура единого. Структура же как единое, т. е. та структура, которая характеризует и каждую отдельную конечную фигурность и есть нечто общее, может быть только мыслимой, а не вещественной. «Чтойность» вещи, взятая как принцип, может быть только мнимой. Та общая индивидуальность, которая определяет собою во всех индивидуумах самое конкретное в них и в то же время есть для них общее, эта индивидуальность есть мнимое. Отсюда — необходимость введения мнимого сферического круга, о котором шла речь выше.
Этот круг образуется путем пересечения любого конечного шара с бесконечно удаленной плоскостью. Но является заблуждением думать, что он, равно как и циклические точки, находится гоже на бесконечном расстоянии. Тогда именно потонуло бы все различие конечных кругов одного от другого. Так как этих конечных кругов бесконечное количество, то они в самом разнообразном смысле пересекаются в бесконечно удаленной плоскости. Поэтому циклические точки и мнимый сферический круг, чтобы обеспечить индивидуальную конкретность каждой конкретной фигуры, должны быть не на бесконечном расстоянии, а только на неопределенном. В самом деле, находя уравнение круга в однородных координатах
<(ξ — ατ)2 + (η — bx)2 — r2x2 = 0)>
и находя, что пересечение этого круга с бесконечно удаленной прямой <τ = 0> определяется уравнением
<ξ2 + η2 = 0,>
Поделиться книгой: