Хаос и структура

Прежде всего, из того, что этот метод мы предлагаем ввести в логику, вовсе не вытекает, что в логике не должно быть никаких других методов. Метод формально–логический, метод описательно–структурный, метод логистики, метод диалектический могут и должны применяться в логике, и метод бесконечно–малых должен быть с ними в гармонии.

Далее, из того, что некоторые направления буржуазной философии тоже считали нужным использовать метод бесконечно–малых, — этот факт способен пугать только детей. Мало ли с чем может «совпадать» марксизм? Марксизмом руководит искание истины, а не то, совпадает ли он или не совпадает с теми или другими буржуазными методами. Марксистский диалектический метод тоже в какой–то мере «совпадает» с Гегелем. Однако это не помешало Марксу справедливо сказать, что его метод диаметрально противоположен гегелевскому. Позитивистский дарвинизм тоже выставил принцип борьбы за существование. Однако это не помешало Энгельсу в своей теории классовой борьбы совершенно отбросить дарвинистическую «борьбу за существование». Прагматисты тоже «совпадают» с нами в учении о практике как критерии истины. Но разве может быть у кого–нибудь сомнение о полной противоположности марксизма и англо–американского праг матизма?

Точно так же не будет свидетельствовать о нашей философской проницательности, если мы при мысли о бесконечно–малых в логике будем пугаться уже давно отошедших на тот свет марбургских неокантианских теней. Во–первых, почему мы должны тут вспоминать обязательно о Марбурге? Метод бесконечно–малых применял в философии Лейбниц, представитель не кантианской гносеологии, но — объективной метафизики. Этот метод применял и по–своему обосновывал Гегель, представитель не кантианской гносеологии, но—объективного идеализма. В России в 80–х гг. [XIX в.] Н. Я. Грот говорил о дифференцировании и интегрировании в умственных процессах с точки зрения субъективистического психологизма. Этот метод с огромной силой выдвигали Маркс и Энгельс, представители диалектического материализма. При чем тут неокантианство? Во–вторых же, если уж сопоставлять наше понимание метода бесконечно–малых с концепциями Германа Когена, то ведь у последнего это есть метод порождения мышлением всякого бытия, а у нас—метод отражения материи в мышлении. При таком сопоставлении не только Коген переворачивается в своем гробу, но и мы можем сказать без всякого преувеличения, что наш метод бесконечно–малых диаметрально противоположен когеновскому, поскольку мы исходим из абсолютного существования материи и всякое мышление понимаем только как отражение этой последней.

Однако, повторяем, высочайшая оценка метода бесконечно–малых у Маркса и Энгельса делает совершенно ненужным рассмотрение возможных возражений против этого метода. Возражения могут (и должны) быть не принципиальные, но—только по вопросам конкретного применения этого метода.

5. Гораздо важнее другая сторона дела. При помощи метода бесконечно–малых мы предполагаем перейти наконец от слов к делу в вопросе о живом становлении мышления, хотя это и далеко не единственный способ. Не будем скрывать от себя, что принцип живого мышления легко может стать, а иногда и действительно становится пустой фразой. Все согласны с тем, что мышление–де, конечно, движется, а не стоит на месте. А на поверку выходит, что если и имеется в виду какое–нибудь движение мысли, то — чисто психологическое. А сама–то мысль, как именно мысль, имеет в себе какое–нибудь движение и становление или нет? Вот тут–то обычно и превращается учение о движении в мертвую фразу. Иной раз даже приводятся слова Ленина (Филос. тет. 328): «Диалектика есть живое, многостороннее (при вечно увеличивающемся числе сторон) познание с бездной оттенков всякого подхода, приближений к действительности (с философской системой, растущей в целое из каждого оттенка) — вот неизмеримо бог атое содержание но сравнению с «метафизическим» материализмом, основная беда которого есть неумение применить диалектику к Bildertheorie [к теории отражения], к процессу и развитию познания». Если эти слова Ленина для нас не пустая фраза, то что же такое это живое познание, что такое это становление, это сплошное течение мышления, понимая такое течение не психологически, а логически? Если продумать эту проблему до конца, то не миновать нам той — притом точнейшей — науки, которая ввела сплошное становление именно в числа, в величины, т. е. не миновать математического анализа. Конечно, логика есть учение о понятиях (и их дальнейших усложнениях), а не о числах, — это мы все время будем помнить очень хорошо. Но все же математический анализ дает такие общие принципы становления, которые нетрудно применить и к понятиям. И как в XVII в. уже было невозможно ограничиться в естественных науках только конечными и неподвижными величинами и стихийно возник математический анализ, без которого уже нельзя было научно отображать вновь открывающуюся картину природы, гак, в сущности говоря, уже и для того времени старая логика конечных и неподвижных понятий должна была считаться устаревшей. И Лейбниц, Кант, Фихте, Шеллинг, Гегель, даже Шопенгауэр с большими и частыми срывами и провалами старались, каждый на свой манер, построить философию не конечных и неподвижно изолированных тел или сущностей, но философию именно становящегося бытия и мышления. В XIX в. Энгельс с огромной силой выдвинул в своей «Диалектике природы» метод бесконечно–малых как то, без чего невозможно изобразить движущуюся природу и мышление, а Маркс построил всю свою грандиозную теорию капитала на таком именно понимании общества, которое требует вечного становления, которое трактует капитал как сплошно, непрерывно стремящуюся категорию, проходящую через целый ряд скачков, чтобы в конце концов, опять–таки в результате непрерывного становления и опять–таки при помощи грандиозного скачка, перейти в новую социальную формацию. «Капитал» Маркса, так сказать, насквозь ин–финитезимален, хотя выделение в нем этих элементов теории бесконечно–малых еще ждет своего исследования.

6. В буржуазной философии все говорят и все согласны, что бытие и все, что в нем, движется, меняется, течет и т. д. Однако все эти «принципы» давно уже стали там ничего не говорящей пошлостью, особенно нудной и никчемной в логике. Ленин искренне возмущался этой «научной» пошлостью, прекрасно зная, что она говорится совершенно безответственно, поверхностно, ради пустой фразы. Ленин пишет (Филос. тет. 265): «С принципом развития в XX в. (да и в конце XIX в.) «согласны все». — Да, но это поверхностное, не продуманное, случайное, филистерское «согласие» есть того рода согласие, которым душат и опошляют истину. — Если все развивается, значит, все переходит из одного в другое, ибо развитие заведомо не есть простой, всеобщий и вечный рост, увеличение (respective—уменьшение) etc. — раз так, то, во–первых, надо точнее понять эволюцию как возникновение и уничтожение всего, взаимопереходы. — А во–вторых, если все развивается, то относится ли оно к самым общим понятиям и категориям мышления? Если нет, значит, мышление не связано с бытием. Если да, значит, есть диалектика понятий и диалектика познания, имеющая объективное значение». Ясно видно, как глубоко чувствовал Ленин движение именно понятий. Но ведь тогда столь же должно быть ясным и то, что логика должна на первых же своих страницах учесть это движение. Тут общих фраз о том, что «все течет, все изменяется *», недостаточно. «Вопрос не о том, — пишет Ленин (265), — есть ли движение, а о том, как его выразить в логике понятий». Понятия и мышление ни в каком случае нельзя понимать только прерывно, только скачкообразно, хотя если бы здесь не было прерывности, то не было бы и различий, т. е. не было бы и самого мышления. Однако как же учесть эту непрерывность? Прерывность мышления мы умеем понимать (не столько, впрочем, умеем, сколько некритически интерпретируем по образу неподвижно изолированных вещей). Но как выразить непрерывность мышления, взаимослияние понятий? «Движение есть единство непрерывности (времени и пространства) и прерывности (времени и пространства). Движение есть противоречие, есть единство противоречий» (там же, 267). Спрашивается: где же это у нас непрерывность мышления, да и еще непрерывность логическая? Ясно, что мы ее еще не умеем изображать логически. Но ведь без нее, по Ленину, нет и самого движения.

7. Укажем еще на одно понятие, без которого нельзя себе представить современной науки, но которое в логике и философии все еще вызывает у многих панику и какой–то докультурный аффект испуга. Это понятие самого бесконечного. Несмотря на то что в математике это понятие стало уже 300 лет назад одним из самых обычных и трафаретных понятий, за невладение которым студентов увольняют с математических факультетов, — несмотря на это логика все еще продолжает по адресу этого понятия только беспомощно моргать глазами. Сам собой поднимается вопрос: не поучиться ли рассуждать тут у математики?

Мы не будем тут развивать ту мысль, которая должна быть ясна всякому диалектическому материалисту, о том, что не существует ни конечного без бесконечного, ни бесконечного вне конечного, что тут мы имеем типичное единство противоположностей, что «абсолютное и относительное, конечное и бесконечное — части, ступени одного и того же мира» (Ленин. Филос. тет. 106), что конечное и бесконечное «неотделимы», что «они—едино суть» (там же, 111). Что категория бесконечного поэтому столь же реальна и нисколько не более таинственна, чем категория конечного, это ясно. Но вот в чем вопрос: как вводить это бесконечное, как понимать его реальное функционирование в положительной науке и философии? Его можно представлять как нечто окончательное и завершенное и как только еще становящееся. Энгельсу не чужда мысль даже и о завершенной бесконечности, ибо он пишет (Диал. прир. 187 сл.): «…всякое действительное, исчерпывающее познание заключается лишь в том, что мы в мыслях поднимаем единичное из единичности в особенность, а из этой последней во всеобщность; заключается в том, что мы находим и констатируем бесконечность в конечном, вечное—в преходящем. Но форма всеобщности есть форма внутренней завершенности и тем самым бесконечности; она есть соединение многих конечных вещей с бесконечным». Но мы не будем здесь поднимать вопроса о завершенной бесконечности, так как здесь встал бы трудный вопрос о марксистской оценке современного учения о трансфинитных числах. В то же самое время, в чем уж никак нельзя сомневаться и что уж во всяком случае признано и утверждено классиками марксизма–ленинизма, это категория становящейся бесконечности, т. е. как раз то, на чем стоит математический анализ.

Вот у Энгельса картина этой становящейся бесконечности, и притом даже с употреблением математической категории асимптоты, т. е. такой прямой, которая касается данной кривой только при бесконечном продолжении этой прямой (Диал. прир. 188): «Подобно тому как бесконечность познаваемого материала слагается из одних лишь конечных предметов, так и бесконечность абсолютно познающего мышления слагается из бесконечного множества конечных человеческих голов, которые работают над этим бесконечным познанием друг возле друга и в ряде сменяющих друг друга поколений, делают практические и теоретические промахи, исходят из неудачных, односторонних, ложных предпосылок, идут ложными, кривыми, ненадежными путями и часто не находят правильного решения даже тогда, когда уткнутся в него носом (Пристли). Поэтому познание бесконечного окружено двоякого рода трудностями и может, по самой своей природе, совершаться только в виде некоторого бесконечного асимптотического прогресса. И этого для нас вполне достаточно, чтобы мы имели право сказать: бесконечное столь же познаваемо, сколь и непознаваемо, а это все, что нам нужно».

Может ли марксист отрицать такую бесконечность? Конечно, нет. Я не знаю, стоит ли при этом напоминать так хорошо известное всем учение Ленина об абсолютном и относительном и бесконечном приближении относительного познания к абсолютному. Всегда находились такие «марксисты», которые начисто отрицали абсолютное и бесконечное; и так как в науке без этих понятий обойтись нельзя, то специально для них таким «марксистам» приходилось становиться в этих вопросах субъективными идеалистами. С другой стороны, признать абсолютно завершенное бесконечное означает не только устранение всякого реального исторического прогресса и всего относительного, но и признание одной из самых узких и ретроградных метафизик. Ленин, не отрицая абсолютной истины, ценит ее постольку, поскольку она нужна для относительной истины, ибо реальная истина, конечно, всегда будет относительной истиной. В борьбе с релятивистским и махистским отрицанием абсолютной объективной истины и бесконечного достижения ее человеком Ленин пишет (Собр. соч. XIII 110): «Итак, человеческое мышление по природе своей способно давать и дает нам абсолютную истину, которая складывается из суммы относительных истин. Каждая ступень в развитии науки прибавляет новые зерна в эту сумму абсолютной истины, но пределы истины каждого научного положения относительны, будучи то раздвигаемы, то суживаемы дальнейшим ростом знания» (подчеркнуто нами). «Познание есть вечное, бесконечное приближение мышления к объекту» (Филос. тет. 188, подчеркнуто нами). И далее: «Отражение природы в мысли человека надо понимать не «мертво», не «абстрактно», не без движения, не без противоречий, а в вечном процессе движения, возникновения противоречий и разрешения их». Поэтому человеческое познание — вполне условно и относительно (там же, 176, 198), и в то же время оно приводит к объективной истине (там же), гак что «в каждом шаге познания вперед» есть «абсолютное содержание» (174).

После всего этого сомневаться в том, что в основе марксизма–ленинизма, в основе по крайней мере марксистско–ленинской логики и теории познания лежит идея бесконечного достижения объективной истины, это «вечное и бесконечное приближение мышления к объекту», этот «вечный процесс движения» в материи и мышлении, — это значило бы ревизовать всю эту философию с начала до конца.

8. Учение о становящейся бесконечности и непрерывности тончайшим образом разработано в математическом анализе. Вместо вялой пошлости обывательских рассуждений о том, что все течет, все изменяется, мы находим здесь очень тонкий и мощный аппарат для освоения этого бесконечно мало наплывающего процесса сознания и для применения его в науке о природе и в технике. Это и заставляет нас использовать для логики старый и испытанный метод бесконечно–малых, это тончайшее, острейшее, блестящее орудие изображения непрерывных и бесконечных процессов, давшее столь грандиозные результаты в естествознании. Как мы можем остаться равнодушными к этому в логике, т. е. в той науке, которая как раз и должна нам рассказать, что такое мышление как максимально правильное отражение вечно движущегося бытия?

Можно ли, спросим мы, теперь, в середине XX в., игнорировать этот замечательный метод при обрисовке природы логического мышления? Допустимо ли такое чудовищное отставание нашей логики от точных наук, насквозь пронизанных дифференциальным и интегральным исчислением? Не превращается ли всякое наше рассуждение о становлении мышления, об отражении материи в мышлении в пустую фразу, если мир движущейся материи так точно и так прекрасно зафиксирован в математическом анализе, а мир мышления все еще коснеет — в наших изображениях его — на стадии арифметики конечных и неподвижно изолированных чисел? Нам кажется, уже давно пора ликвидировать это чудовищное отставание логики от науки. Невозможно, чтобы учащийся, прошедший современную математику, механику, физику, астрономию и пр., относился с пренебрежением к нашей логике. А он должен так относиться, ибо в ней он находит теорию конечных понятий и теорию неподвижных и взаимно изолированных понятий. Достаточно ли этого? Допустимо ли вузы свести на таблицу умножения? Можно ли, имеем ли мы право говорить о мышлении как об отражении материи, если материя есть сплошная текучесть и подвижность (при условии скачкообразных переходов), а мышление есть сплошная неподвижность, точкообразная косность, где ни при каких условиях и никогда ни один элемент не может перейти в другой? Нам кажется, что с точки зрения современного развития философии и науки вопросы эти могут быть решены совершенно ясно и безоговорочно. И математический анализ—как один из методов (это уже во всяком случае)—должен найти какой–то отзвук в науке логики.

9. Таким образом, мы выдвигаем фундаментальную категорию математического анализа — категорию бесконечно–малого — в надежде достигнуть если не окончательной ясности в проблеме логического понимания мышления, то по крайней мере более совершенного понимания, чем это мы находим в традиционной системе логики. Бесконечно–малое ценно для нас именно тем, что в нем с достаточной глубиной совмещается идея бесконечного и непрерывного процесса с точными конечными элементами и формулами. Бесконечно–малое в математике определяется как такая величина, которая может стать меньше любой заданной величины. Тут важно именно это «может стать». Этим отрезывается раз и навсегда атомистическое понимание бесконечно–малого. Это не какое–то мельчайшее тельце, которое обладает хотя и наименьшим, но все же раз и навсегда установленными и неподвижными размерами. Вся суть заключается тут как раз в обратном: эти маленькие размеры берутся в процессе своего постоянного изменения, так что всякое такое бесконечно–малое, никогда не будучи в состоянии стать нулем, все же вечно к нему стремится, отличаясь от него на какую угодно малую величину. Бесконечно–малое никогда не имеет своего последнего значения, ибо, с какой малостью мы бы его ни брали, оно в то же самое мгновение становится еще меньше. Оно, таким образом, ни в каком случае не есть просто наименьшее. Поэтому в сущности даже совершенно не важно, что оно вообще принимает какие–нибудь значения или проходит через какие–нибудь точки. Никаких неподвижных значений и никаких точек нельзя себе и представить в бесконечно–малом, поскольку оно есть сплошной и непрерывный процесс уменьшения, а не что–нибудь имеющее определенные, хотя бы и наименьшие размеры (конечно, математический анализ учит и о прерывных функциях, но они рассматриваются здесь тоже в контексте общего учения о непрерывности).

Но если такое чистое становление наука гак прекрасно умеет изображать в одной сфере мышления, именно в числовой, то почему же нужно запрещать находить такое же становление и в другой сфере мышления, в понятийной, и в мышлении вообще? Не будет ли такой запрет уже чрезвычайно большой ретроградностью в логике и не будет ли это реакционным узаконением той непозволительной и прямо–таки неимоверной отсталости логики от науки, которую мы сейчас имеем, вопреки основам марксизма–ленинизма, вопреки всему естествознанию?

Поэтому в дальнейшем мы попробуем дать кратчайший и совершенно элементарный очерк инфинитезимального понимания логического мышления, не только без всяких претензий на полноту и исключительность, но и с сознанием, что работу эту мы только еще предлагаем, что уже первое прикосновение к этому других работников, несомненно, даст и новые и более совершенные результаты, углубление которых должно быть постоянным и идущим вперед, как и сама математическая наука.

Находясь на такой позиции, попробуем наметить инфини–тезимальный подход к логическому мышлению в следующем виде.

2. ВЕЩb — АРГУМЕНТ И ОТРАЖЕНИЕ—ФУНКЦИЯ

Материализм может исходить только из подвижной материи как из чего–то независимого. И все, что есть помимо материи, есть, очевидно, только ее отражение, ее функция.

Уже один этот первый—и простейший — шаг по пути понимания мышления с точки зрения математического анализа имеет огромное значение. Сказать, что мышление есть функция материи, — это значит иметь большое достижение. Многим, особенно воспитанным на утонченном буржуазном логицизме, весьма претит наш «грубый» термин «отражение». Нас обвиняют за него в метафизике, в грубом онтологизме, в игнорировании чисто логической проблематики и т. д. Термин «функция» в этом отношении совершенно незаменим. Он берет из «отражения» как раз то, что нам надо. А тем не менее он совершенно обезоруживает всякого буржуазного гносеолога. Что можно против него сказать, если на нем построен целый ряд точных наук огромной важности? Кроме того, эта категория яснее и проще подвергается научному анализу. Если об отражении еще можно спрашивать, что оно такое, то в реальной значимости «функции» уже никто сомневаться не имеет никакого права; и речь может идти только о том, как это понятие проще определить.

Таково это первое—и, на наш взгляд, огромное—достижение математического метода в логике—это понимание мышления как функции от материальных вещей.

Обозначим материальную вещь через χ, понимая ее как то независимое переменное, от изменений которого будет зависеть все прочее. Этот χ принципиально неисчерпаем и бесконечен (вспомним ленинский стакан в знаменитой речи о профсоюзах). Этому χ соответствует адекватное существенное отражение, такое же неисчерпаемое и такое же бесконечное, как и сам х. Это существенное отражение, очевидно, является определенной функцией от аргумента х. Назовем ее у. Ясно, что человеческое знание, вообще говоря, есть некоторое отношение между этими χ и у. От изменения этого отношения между вещью и ее отражением зависит и степень, равно как и качество человеческого мышления и знания об этой вещи.

Итак, отражение вообще есть функция вещей материи; и поскольку мышление относится к сфере отражения, и само мышление тоже есть функция материи. Тут, однако, не надо сбиваться с толку этой точной терминологией и надо понимать ее только так, как она сама на это уполномочивает. Во–первых, если мы говорим, что мышление есть функция материи, то этим вовсе не говорим, что мышление есть функция какого–то одного переменного. Вещь вовсе не есть какое–нибудь одно переменное. Это—множество разнородных переменных, если не прямо бесконечное число разного рода переменных. Раз вещь бесконечна, то, значит, она состоит и из бесконечного количества переменных, развивающихся к тому же в самых разнообразных и часто противоположных направлениях. Мышление поэтому, выражаясь математическим языком, есть обязательно функция многих переменных, даже когда оно относится к какой–нибудь одной, строго определенной вещи. И если мы сказали только об χ, то это было сказано только для краткости и только условно. На самом же деле это и х_и и х₂, и х₃ и т. д. и т. д. Правда, для простоты и удобства исследования мы можем тут, как и в математическом анализе, изучать всякую функцию как функцию одного переменного, давая всем ее аргументам, кроме одного, как говорят, «произвольно выбранное значение», так что переменной величиной из всех аргументов остается только один.

Во–вторых, если мы говорим, что мышление есть функция материи, то так это и надо понимать, не больше и не меньше того.

И прежде всего этим совершенно не утверждается, что между материей и мышлением только и существует функциональное отношение, и никакое другое. Мы говорим только то, что в данном случае, а не вообще, что именно здесь, а не везде, что именно в логике, а не вообще где бы то ни было, — нас интересует функциональное отношение. Но вообще говоря, отношение между материей и мышлением, равно как и отношения, наличные в самой материи, отнюдь не есть только функциональные отношения. Мышление всегда принадлежит какому–нибудь субъекту, а субъект есть часть все той же материальной действительности. Отношение материи к мышлению в конце концов сводится опять–таки к отношениям внутри самой же материи, т. е. к материальным отношениям. А это уже есть не только функция. Однако нам здесь нужно пока только функциональное отношение между материей и мышлением. И видеть его, рассматривать отдельно, анализировать как таковое мы имеем полнейшее право как и в математике, так и в логике. И если такое абстрагирование не помешало математике остаться вполне реальной наукой, наукой о действительности, и, даже наоборот, если оно–то как раз и раскрыло здесь подлинную объективную реальность мышления, то, очевидно, это абстрагирование функций из цельной действительности сохранит и для логики ее реализм и даже усилит ее объективно–реальное значение.

3. ИЗМЕНЕНИЯ ЭТИХ АРГУМЕНТА И ФУНКЦИИ И ОТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ЭТИМИ ИЗМЕНЕНИЯМИ

1. Итак, мы имеем некую систему независимых переменных или, пусть скажем, некий аргумент дс, материальную вещь, и — функцию от этого, отражение и, стало быть, мышление, у. Будем теперь наблюдать, как меняется наш х.

Покамест мы имеем просто отношение у к х, это значит, что мы находимся вообще в области знания, ибо отношение существенного отражения к самой вещи есть не что иное, как именно рассмотрение вещи в свете этого отражения и этого отражения—в свете соответствующей материальной вещи. Это есть знание, и это есть мышление — наиболее полное и наиболее целостное. Познание ведь и есть не что иное, как известное отношение между отражением вещи и самой вещью. Но вот вещь меняется, и соответственно—меняется и ее существенное отражение. Что тут происходит с познанием и, следовательно, со знанием?

Вещи меняются, во–первых, непрерывно и, во–вторых, прерывно, скачкообразно. Для наших целей сейчас особенно важно непрерывное изменение, т. е. сплошное становление вещи. Остановимся на нем. Итак, χ непрерывно меняется. Так как у есть функция от χ, то, следовательно (для случая непрерывной функции), непрерывно меняется и у. X изменился на некоторую величину, у изменился тоже на некоторую величину (уже свою собственную). X изменился на бесконечно–малую величину, и у—тоже. Тут, между прочим, чрезвычайно важна эта идея бесконечно–малых изменений существенного отражения, а значит, и мышления. Конечно, мы очень часто и без этого возражаем против метафизики, против неподвижности вещей и мышления. Однако большею частью эти возражения остаются только на бумаге. Мышление меняется—кто же будет отрицать эту азбучную истину? Но это, конечно, не есть марксизм. Очень легко отделаться общей фразой и не ставить вопроса во всей глубине. А вся глубина этого вопроса заключается в том, что мышление меняется именно непрерывно, что оно есть сплошное становление, т. е. что все его элементы (напр., понятия или суждения)—переменные величины в смысле математического анализа, т. е. что эти изменения происходят здесь бесконечно–малыми приращениями. Только дифференциальное и интегральное исчисления и могут обосновать для нас эту подвижность и текучесть самих понятий, самих сущностей. То, что они прерывны, это знают все. Но то, что они в то же самое время еще и непрерывно становятся, это знает мало кто. И покамест эта цитадель метафизики не будет разрушена, нечего и думать идти за Лениным, когда он говорит, что «не только явления преходящи, подвижны, текучи, отделены лишь условными гранями, но и сущности вещей так же» (Филос. тет. 263), что «всесторонняя, универсальная гибкость понятий, гибкость, доходящая до тождества противоположностей, — вот в чем суть» (110), что понятия есть «учеты отдельных сторон движения, отдельных капель ( = «вещей»)», отдельных «струй», в то время как бытие есть «река и капли в этой реке» (144). Поэтому непрерывность, бесконечно–малое изменение всякого понятия, суждения, умозаключения и всего мышления в целом, заповеданное Лениным, должно быть зафиксировано нами во всей точности, именно с математической точностью.

2. Итак, χ меняется и у меняется. В каком же отношении окажется теперь наш аргумент д: и наша функция у в условиях своего непрерывного изменения, т. е. в условиях изменения на бесконечно–малые величины? Ясно, что это отношение будет уже не то, что раньше между χ и у как таковыми. И что же это за отношение? Если иметь в виду, что здесь речь идет о непрерывном изменении вещи, а непрерывное изменение вещи есть именно то, которое мы воспринимаем чувственно, и если принять во внимание, что как раз наша чувственность обладает существенным признаком в сравнении с мышлением, непрерывной и чисто непосредственной текучестью и становлением, то мы не ошибемся, если скажем, что отношение бесконечно–малых приращений наших функции и аргумента, т. е. отношение непрерывного становления соответствующего отражения и вещи, есть не что иное, как сфера самой обыкновенной человеческой чувственности, но взятой в том или ином пределе.

3. Чистая непосредственная чувственность, если она лишена абсолютно всякого оформления, есть некий неразличимый туман, некая сплошная иррациональность, реально даже не существующая в человеческом опыте, а являющаяся лишь некоторой абстракцией.

Та реальная чувственность, которой обладает человек, не есть нечто только непрерывное и только текучее, только сплошное. Она есть известное оформление этой непрерывности, известная система прерывных и расчлененных моментов абсолютно неразличимого потока непосредственно–чистой чувственности. Мы можем брать один непрерывный поток и другой непрерывный поток в мышлении или в бытии. И уже то одно, что мы взяли другой поток, ясно свидетельствует о различии, наблюдаемом нами в безразличной непрерывности, и даже о сравнении этих различных непрерывностей. А сравнивание есть уже помещение их как бы на одну плоскость. Это есть уже какое–то их прикрепление к одному и тому же месту, т. е. какие–то прекращения их непрерывного становления.

Пусть перед нами текут два ручья. Самые–το ручьи непрерывно и сплошно текут, и—соответственно—их взаимоотношение меняется: волны того и другого ручья могут по–разному меняться, и в каждое мгновение они — различны, т. е. по–разному и относятся волны и струи одного ручья к волнам и струям другого ручья. И все–таки, несмотря на это, стоя на возвышенном месте и наблюдая эти два ручья на известном их протяжении, я обязательно имею перед собою их общую картину, и уж эта картина совершенно не меняется, а остается той же самой. Она—одна и та же при всей изменчивости течения обоих ручьев. Она есть то, за пределы чего не выходит взаимоотношение обеих текучестей. Она и есть предел взаимоотношения этих текучестей.

Ясно, что здесь мы хотя и продолжаем вращаться в сфере чувственности, но уже самую эту текучую чувственность начинаем понимать не просто как сплошную текучесть, но уже как известную едино–раздельность, конечно существенно связанную с этой текучестью. В данном случае она достигается при помощи предельного перехода.

Заметим, что, отличая чувственность от мышления сплошной текучестью, мы вошли бы в полное противоречие с принятыми нами самими установками для этой работы, если бы отрицали за мышлением всякую текучесть. Мышлению, поскольку оно есть именно мышление, а не чувственность, не свойственна лишь чисто непосредственная, т. е. слепая, текучесть. Но сплошная текучесть может быть сформирована не слепо, а осмысленно, т. е. составляющая ее непрерывность может в недрах своих сохранять именно эти осмысливающие ее предельные переходы. Но тогда мы получаем математическое понятие континуума как множества, т. е. такую сплошность, которая дана с целой системой предельных переходов. Однако понятие континуума сейчас нас не интересует; мы хотели только разъяснить, в каком смысле чувственность отличается от мышления сплошной текучестью.

Итак, мы получаем предел отношения бесконечно–малых приращений функции и аргумента; и этот предел есть производная от данной функции. Если бы наши два ручья так были бы связаны между собою, что течение в одном целиком зависело от течения в другом, т. е. чтобы один был функцией другого, то общую картину этого взаимоотношения двух течений, картину, за пределы которой эти последние не выходят, мы могли бы в совершенно точном смысле слова назвать некоторого рода живописной производной от одного ручья, как сказал бы математик, по другому, т. е. производной от того ручья, который является функцией, по тому ручью, который является аргументом.

4. Будем вдумываться в это важное понятие производной и попробуем привыкнуть к нему, чтобы в дальнейшем найти и его точный коррелят в логике.

Будем изучать это отношение бесконечно–малых приращений функции и аргумента. Математики показывают, что в условиях непрерывного изменения χ и у отношение между ними тоже непрерывно меняется, но оно меняется не как попало. Рассмотревши ряд значений этого отношения, мы убеждаемся, что этот ряд строится по определенному закону. Да этого закона и не может не быть, если у есть совершенно определенная функция от х. Если все это точно определено, то и бесконечно разнообразные отношения между приращениями отражения вещи и самой вещью не могут обладать случайным характером. Ведь если мы себе представим, что вещь χ прошла путь своих бесконечно–малых приращений целиком, так что уже никакого нового приращения быть не может, то ведь и отношение между этим нацело пройденным путем вещи и соответствующим ему путем изменения его отражения тоже окажется чем–то достигнутым, завершенным и окончательным. Правда, на путях своего непрерывного становления вещь никогда не может достигнуть такого предела. Но с другой стороны, мы ведь не можем же остановиться только на точке зрения непрерывности. С такой точки зрения не только никакой Ахиллес никогда не догонит черепахи, но и вообще никогда нельзя прийти из точки А в точку В, как бы они близки ни были одна к другой. Следовательно, хотя вещь и меняется непрерывно и хотя также и мышление, соответствующее ей, тоже меняется непрерывно, тем не менее сама–то вещь есть нечто определенное и даже конечное, равно как и соответствующее ей мышление. А поэтому и отношение между бесконечно–малыми непрерывными изменениями того и другого типа так же должно стремиться к чему–то конечному и определенному. Это и есть предел данного отношения, или то, что в математическом анализе носит название производной (в данном случае— первой производной). Значит, это отношение между бесконечно–малыми приращениями отражения вещи и самой вещи стремится к точному, вполне определенному пределу, к некоей новой функции, носящей название производной.

Это математики и выражают своими знаменитыми символами математического анализа. Δх и Δ ν — произвольные приращения аргумента и функции. Отношение между ними есть, вообще говоря, некоторая конечная величина, самое обыкновенное арифметическое частное. Но когда χ и—соответственно—у бесконечно мало меняются, т. е. когда мы берем, собственно говоря, уже не л; и у, но их непрерывное становление, тогда отношение их приращений переходит в такое же непрерывное становление. Или говорят так: приращения Δ х и Δ у бесконечно мало отличаются от нуля или непрерывно стремятся к нулю, а отношение этих бесконечно умаляющихся приращений имеет некий устойчивый предел. И тог да вместо Δ>· и Δ.τ пишут Δх и Δ ν и записывают гак:

, а словами говорят: производная от у по х.

5. Спросим себя теперь: если упомянутое отношение есть чувственное знание (напр., ощущение и представление), то что же такое предел этого отношения? Что такое предел наших чувственных познаний данной вещи, когда оказываются учтенными все возможные изменения данной вещи, когда мы охватываем, стало быть, целую бесконечность всех мельчайших изменений вещи, т. е. целую бесконечность всех возможных экземпляров вещи, когда мы охватываем, следовательно, все вещи данного ряда? Очевидно, если не входить в детали и ограничиться только самой общей формулой, то это есть не что иное, как понятие вещи. Понятие, следовательно, или, точнее, сфера образования понятия есть первая производная от мышления, понимаемого как адекватное существенное отражение материальной вещи по самой вещи в условиях непрерывного становления того и другого.

Строго говоря, производная не есть в переводе на логический язык просто само законченное понятие, но только относится к сфере образования понятия. Строгое же решение этого вопроса будет дано у нас ниже.

4. ЗНАЧЕНИЕ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛОВ ДЛЯ ЛОГИКИ

1. Здесь перед нами также, по–нашему, огромный дар логике от математического анализа. Мы покамест оставим в стороне категорию производной в целом, ибо в дальнейшем ей посвящается у нас отдельный параграф. Но о категории предела, входящей в производную, необходимо сказать подробнее уже сейчас. Эта категория, как мы видим, привлечена у нас не больше и не меньше как для изображения логического отношения между мышлением и чувственностью.

Невозможно себе и представить все ухищрения ученых в вопросе о взаимоотношении мышления и чувственного представления. Можно сказать, вся история философии, особенно Нового времени, есть история разных теорий о взаимоотношении мышления и представления или, в дальнейшем, мышления и ощущения. И результат всех этих теорий довольно–таки плачевный. Это — априоризм и сенсуализм с бесконечными оттенками между ними. И это почти всегда подмена логической точки зрения разными натуралистическими исканиями, что из чего и как произошло. Но что бы и как бы из чего ни происходило, логическая значимость этим не определяется. Ньютон, Дарвин, Павлов — религиозные люди, а создавали материалистические системы. И наоборот, многие воспитанники духовных семинарий оказались у нас и материалистами, и революционерами. Пусть общее понятие «происходит» из чувственного опыта. Ну и что же из этого? Прежде всего, такое решение логической проблемы общего понятия не имеет никакой возможности ответить на критику Канта о том, что всякое отдельное чувственное восприятие пространственно–временной вещи уже предполагает априорные формы пространства и времени. А во–вторых, какое же это имеет отношение к логической природе мышления? А если известная теорема приснилась мне во сне в готовом виде, значит ли это, что данная теорема неверна?

Вместо всех этих жалких ignorationes elenchi[203] математический анализ дает нам точную и сильную, яркую картину именно логического отношения между понятием и представлением. Спросим себя, какой смысл имеет в науке чувственное представление? Не само же по себе, в самом деле, оно имеет тут значение. Ведь наука — это установление законов, нахождение общих соотношений, т.е. то самое, на что совершенно не способно чувственное представление. Хороша была бы физика, если бы она не шла дальше тех скоростей, которые можно уловить глазом! Не только о скорости света мы никогда не узнали бы и не могли бы о ней учить как о чем–то реальном; но мы вообще о скоростях больших <…> м [етра] в секунду не могли бы иметь никакого представления или должны были бы отрицать их реальность. Но если не само по себе имеет значение для логики чувственное представление, то какое же еще? Уже не такое ли, о котором говорят т. н. эмпирики, что отдельные чувственные представления сливаются в одно общее представление, т. е. такое значение, которое сводится к тому, что они бесследно гибнут и расплываются в мышлении? Однако тут мы, конечно, должны защитить чувственное представление от такого его оправдания. Чувственное представление вовсе не гибнет; оно нужно для науки, оно—орудие науки; без него нет и самой науки. Но в чем же тогда дело? В чем же тогда значимость, и именно логическая значимость, представления в сравнении с понятием?

2. Я не знаю более совершенного способа и сохранить для науки чувственное представление, и в то же время ограничить его в сравнении с научным понятием (так ограничить, как оно фактически ограничено в своем научном употреблении), кроме толкования понятия как предела и представления как переменной величины, стремящейся к пределу. Что чувственное представление с такой точки зрения является чем–то ограниченным, это ясно. Но вместо неясного термина «ограниченность» мы получаем тут яснейшую категорию из теории пределов, именно категорию переменной величины, стремящейся к пределу. Такая величина всегда приблизительна. Она никогда не достигает своего предела, но зато и может приближаться к нему с любой точностью. Таким образом, по самой природе своей она есть нечто становящееся. Переменная величина имеет предел, говорят математики, если разница между ней и ее пределом может стать меньше любой заданной величины, т.е. вечно стремится к нулю. Что этим чувственное представление буквально спасается для науки, это совершенно ясно. Вместо расплывчатою пятна неизвестно чего, вместо абсолютной текучести дряблого чувственного марева представление получает определенную закономерность, оно получает научный смысл, его уже нельзя просто отбросить, оно — настоящий фундамент науки. Но в то же время все его логическое значение держится, по нашей теории, только его пределом, т. е. понятием, общим, которое им управляет, как в математике предел управляет соответствующей ему переменной величиной. В этом пределе нет ровно ничего таинственного или сверхъестественного. Это—самая обыкновенная конечная величина. Но он безусловно дает закон для соответствующей переменной величины, точь–в–точь [как] в реальной и истинной науке: мы имели массу всяких чувственных представлений, но весь их смысл заключается только в том, чтобы мы добыли из них закон природы или общества, получили бы то общее, которое их осмысляет и для которого они являются материальной базой.

3. Имея все это в виду, попробуем дать более точное логическое раскрытие понятия предела. Способов такого раскрытия несколько, и тут возможно употребление самых разнообразных категорий. Предлагаемая нами конструкция отнюдь не единственная и, вероятно, не наилучшая, так как вопрос этот почти не обсуждается в логике; и дружная разработка его, конечно, тотчас же обнаружила бы и другие, более совершенные подходы. Однако за отсутствием исследований этого вопроса в философии попробуем дать тут некоторое логическое построение с единственной претензией — только на первое приближение к истине.

Первое, что представляется нам тут очевидным, это то, что предел вовсе не есть ни только конечная, ни только бесконечная величина. Хотя всегда было и много охотников свести предел на конечное число на том основании, что он фактически может быть конечным числом, это есть, само собой разумеется, просто устранение самой проблемы. Когда мы имеем то или иное число натурального ряда, мы, конечно, вовсе не имеем никакого понятия предела и не нуждаемся в нем. Предел интересен вовсе не своей конечностью. Предел, какой бы величиной сам по себе он ни был, интересен тем именно, что он есть предел, граница—для чего? Для некоторого бесконечного непрерывного процесса. Если нет того, что стремится к пределу, нет и самого предела. Однако что такое это стремление? Оно не может быть рядом конечных и взаимно изолированных величин. Это было бы не стремлением, а мертвым покоем. Следовательно, здесь необходима именно непрерывность. И потому предел есть синтез конечного и бесконечного в абсолютно неделимом и непрерывном смысле: он есть и нечто устойчивое, определенное, конечное и в то же время требует некоего процесса, стремления, протекания, но—так, что в результате он есть некая совершенно неделимая цельность и единичность, без всяких разрывов и различий.

Это первое, что бросается в глаза при рассмотрении понятия предела. Но это только начало рассмотрения. Дело в том, что тут еще нет предела в том инфинитезимальном смысле, какой нам нужен в этой работе. В таком общем виде синтез конечного и бесконечного дается и в других математических науках, от которых нам сейчас предстоит отграничиться.

В самом деле, разве самое обыкновенное число из натурального ряда чисел не есть синтез конечного и бесконечного? Несомненно. Ведь мы же можем его делить до бесконечности. И совершенно ничто не мешает нам представлять себе, напр., ту же единицу или двойку как составленные из бесконечного числа дробных элементов. Разумеется, эта бесконечность таится решительно во всяком числе натурального ряда, и все–таки это — арифметика, а не математический анализ.

Существует по крайней мере три разных математических способа синтезировать конечное с бесконечным.

Во–первых, этот синтез может быть дан конечными средствами в конечном, в пределах конечного. Тут перед нами самое обыкновенное арифметическое число, т.е. такое, каким мы его знаем из элементарной арифметики. Тут бесконечность содержится внутри конечного, и тем самым не во всей своей свободе и независимости, но лишь как оформление конечного, т. е. как сплошное заполнение всегда наличных в нем разрывов.

Во–вторых, этот синтез конечного и бесконечного дается в математике еще и средствами бесконечного, т.е. мы получаем тут синтез конечного и бесконечного в бесконечном. При таком условии теперь уже конечное теряет свою свободу и независимость и становится только оформлением бесконечного, т. е. тем, что вносит в его неразличимость и непрерывность ту или другую оформленность, различимость, прерывность, упорядоченность. Таково трансфинитное число, которое есть всегда бесконечное множество, однако — не просто внутреннее сплошное и неразличимое, но—определенным образом оформленное, различимое, определенное и в этом смысле конечное. Если в арифметическом числе бесконечное находится на службе у конечного и никуда не выходит за его пределы, то в трансфинитном числе конечное находится на службе у бесконечного и за его пределами не имеет никакого самостоятельного существования.

В–третьих, синтез конечного и бесконечного еще дается в математике и так, что конечное и бесконечное сливаются в общий неразличимый поток, в общее сплошное становление, нисколько не перевешивая друг друга, а входя в этот синтез вполне равномерно и на одинаковых правах. Это есть инфинитезимальная величина, т.е. то бесконечно–малое, которое мы и определяли выше как непрерывный процесс, как такое малое, которое может стать меньше заданной величины, как такое нарастание, которое стремится к нулю и как угодно мало от него отличается.

Эти три синтеза конечного и бесконечного в математике — арифметический, трансфинитный и инфинитезимальный—настолько ярко выражены в математике и представляют собою настолько обычное в ней явление, что никаких споров по этому предмету, кажется, не может быть.

Но что это дает нам для логической теории пределов? Мы видим, что проблема предела значительно усложнилась и что предел этот можно понимать по крайней мере в трех разных смыслах. При этом нас в этом исследовании интересует, как сказано, только предел в инфинитезимальном смысле. Что же такое предел как инфинитезимальная категория?

Очевидно, раз инфинитезимальная точка зрения базируется на бесконечно–малом, из этого бесконечно–малого мы и должны тут исходить. При исследовании предела в инфинитезимальном смысле мы должны исходить из бесконечного и непрерывного становления, и больше не из чего другого. Мы должны тут оперировать становлением, не внося в него ровно никакого разделения или различения. А какие это операции, это совершенно не касается самого становления. Эти операции могут быть и конечными, прерывными.

Попробуем провести здесь то же разделение, которое мы проводим и в отношении синтеза конечного и бесконечного вообще. А именно, наше сплошное и непрерывное числовое становление мы можем понимать конечно, бесконечно и в виде непрерывного процесса. Или, употребляя ходовые термины диалектической логики, мы можем это становление понимать как бытие (т. е. акт самополага–ния, самоутверждения), как становление и как ставшее (как «наличное бытие», как исчерпавшее всю сферу становления и потому «остановившееся»). Ниже мы увидим, что числовое становление как акт бытия есть дифференциал; числовое становление как именно становление (т. е. как положенное становление) есть непрерывность бесконечно–малого и числовое становление как исчерпавшее себя целиком и потому остановившееся, т. е. числовое становление как ставшее, есть интеграл. Однако сейчас мы еще далеки от исследования этих сложных категорий и пока интересуемся только пределом. Но интеграл, как мы увидим в своем месте, и есть некоторого рода предел (какой именно—сейчас не важно). Другими словами, предел в инфинитезимальном смысле есть не что иное, как числовое ставшее, а ставшее предполагает и то, что именно становилось, и само становление. Поэтому синтез конечного и бесконечного, находимый нами в пределе, содержит в себе два пласта: во–первых, это есть синтез по типу становления (тут наш предел отличается и от арифметического, и от трансфинитного); а во–вторых, в сфере этого становления синтез конечного и бесконечного произведен по типу ставшего. И следовательно, предел в инфинитезимальном смысле есть такой синтез конечного и бесконечного, который дан как непрерывное становление, но целиком исчерпавшее себя или как само непрерывное становление, но—в простом тождестве с собою, без своего рассыпания и размыва на отдельные моменты. Поэтому предел здесь как бы вобрал в себя всю бесконечность непрерывных приближений к себе и держит их в одной неделимой точке.

Вот почему предел есть обязательно закон для стремления к нему приближенных величин, метод этого движения, или, попросту говоря, направление этого движения, общее направление его, то, что содержит в себе всю эту бесконечность индивидуальных приближений. Это потому, что он — ставшее; и это потому, что он — становление; и это потому, что он—устойчивое ставшее непрерывного и бесконечного становления, становление как целое. Невозможно себе и представить, чем оказалось бы общее цельное, родовое без этого учения о пределе. Сама категория закономерности, или закона, повисла бы в воздухе, если бы мы не обладали категорией предела. Только при полном прекращении всякого движения в материи, всякого ее становления можно было бы не пользоваться категорией предела. Но тогда во что же превратилась бы всякая общность, всякая цельность? Разве она не превратилась бы в механическую сумму, во внешнее насилие над абсолютно враждебными друг в отношении друга телами, из которых каждое отвергало бы и исключало всякое другое и уж тем более всю совокупность этих других? Вот почему и немыслима современная математика без теории пределов. Как же в таком случае мы можем строить логику без теории пределов, если логика есть только «итог опыта наук» (Ленин)?

5. ЛЕНИН О ПРЕДЕЛЕ, ОБ ОБЩЕМ И О ЗАКОНЕ

1. Задержимся еще на некоторое время на этом вопросе, чтобы больше привыкнуть к этой теории мышления с точки зрения учения о пределах. Дурные привычки неподвижной формальной логики, оперирующей с понятиями в виде каких–то инертных глыб или булыжников, держат логику на ступени колоссальной отсталости от науки, почему и указание некоторых трафаретных фактов из науки будет здесь совершенно нелишним. Понимает ли наука понятие как предел некоей последовательности или как закон некоего ряда, некоторой последовательности отдельных чувственных элементов? Конечно, да. Для этого даже нет необходимости забираться в математический анализ, а достаточно простой арифметики (только арифметики, разумеется, уже не конечных величин), достаточно элементарной механики или физики. Попробуем укрепить свое логическое понимание мышления на этих простейших примерах. Общее для нас не есть что–нибудь целиком оторванное от частного и индивидуального. Оно есть закон для него и, значит, охватывает всех его представителей, имеющих отношение к этому общему. Укрепиться на таком понимании общего совершенно необходимо — тогда и метод бесконечно–малых станет совершенно ясным и непререкаемым для логики.

2. Во всех этих построениях невозможно не привлекать учения Ленина об общем в связи с учением о законе и отношении. Ленин весьма похвально отзывается о соединении общего и частного у Гегеля. «Прекрасная формула: «не только абстрактно всеобщее», но всеобщее такое, которое воплощает в себе богатство особенного, индивидуального, отдельного (все богатство особого и отдельного!) великолепно!» (Филос. тет. 99). Но мало этого. Понимая «общее» как «сущность» (277), Ленин мыслит его конкретно именно как закон для соответствующего частичного. «Родовое понятие есть «сущность природы», есть закон…» (275); тут же заметим, что, по Энгельсу, тоже «форма всеобщности в природе есть закон» (Диал. прир. 188), а «закон есть отражение существенного в движении универсума» (Ленин. 148), т. е. «закон есть отношение… отношение сущностей или между сущностями» (150); и при всем том, конечно, «закон берет спокойное и — поэтому закон, всякий закон узок, неполон, приблизителен» (и в этом указании Гегеля на «спокойствие» Ленин видит «замечательно материалистическое и замечательно меткое определение» (148)). Но мало и этого. Ленин, несомненно, мыслит общее и конкретное именно как бесконечную сумму менее общих достижений. Общее «только и есть ступень к познанию конкретного, ибо мы никогда не познаем конкретного полностью». «Бесконечная сумма общих понятий, законов etc. дает конкретное в его полноте» (285). При этом очень ценно у Ленина как раз чувство приблизительности и относительности всею отдельного, равно как и всего общего при нерушимой закономерной связи того и другого; и это–то особенно роднит его с учением о пределах и бесконечно–малом. Замечательно говорит Ленин (327): «Значит, противоположности (отдельное противоположно общему) тождественны: отдельное не существует иначе как в той связи, которая ведет к общему. Общее существует лишь в отдельном, через отдельное. Всякое отдельное есть (так или иначе) общее. Всякое общее лишь приблизительно охватывает все отдельные предметы. Всякое отдельное не полно входит в общее и т. д. и т. д. Всякое отдельное тысячами переходов связано с другого рода отдельными (вещами, явлениями, процессами)». «…Естествознание показывает нам (и опять–таки это надо показать на любом простейшем примере) объективную природу в тех же ее качествах, превращения отдельного в общее, случайного в необходимое, переходы, переливы, взаимную связь противоположностей» (там же; подчеркивание в обеих цитатах наше). Интегральная природа общего, общее (и в том числе общее понятие) как предел суммы бесконечно–малых приращений вообще очень ярко чувствуется марксизмом. «Совпадение понятий с «синтезом», суммой, сводной эмпирией ощущений, чувств несомненно для философов всех направлений», — пишет Ленин (291). И наконец, если вспомнить еще и замечательное учение Энгельса (Диал. прир. 178): «Общий закон изменения формы движений гораздо конкретнее, чем каждый отдельный «конкретный» пример этого», то станет совершенно ясным, что с нашей точки зрения общее должно быть 1) пределом для всего частного, которое никогда не может его достигнуть, но вечно достигает его с любой точностью, 2) законом его образования и последовательности, или принципом его конкретного развертывания, а это значит, что и 3) наиболее конкретным выражением существенных отношений и закономерностей, царствующих в природе и обществе.

3. И вот это–то прекрасное учение обывательская мысль всегда была склонна опошлять и превращать в пустую фразу. В противоположность этому необходимо со всей энергией выставить понимание общего, или понятия, именно как предела, как закона, как принципа, как метода для всего индивидуального, чтобы это чувственное, отдельное, индивидуальное не погибло (в сенсуализме оно гибнет еще больше, чем в абстрактной метафизике), но сохранилось на лоне общего, как и общее на лоне этого индивидуального, со всеми мельчайшими оттенками этого индивидуального. Чтобы это не превратилось в фразу, мы и предлагаем взять образцы из самых точных наук и убедиться, что подлинно научные понятия строятся именно таким образом (хотя, конечно, в науке всегда остается множество и таких понятий, которые еще очень далеки от такого логического совершенства). Те, кто так часто твердит о «конкретности» общего, и не подозревают, в какой мере их рассуждение абстрактно. Только окунувшись в конкретную науку, можно понять, до какой степени конкретно, до какой степени ярко, до какой степени ослепительно вышеприведенное учение Ленина о закономерности и конкретности общего понятия.

6. ПРИМЕРЫ ИЗ НАУК

Итак, приведем несколько примеров из конкретной науки, относящихся к «предельному» пониманию логического мышления.

Возьмем такое математическое понятие, как «корень», напр. «квадратный корень». Это простейшее понятие есть прекрасный пример для иллюстрации того, что такое понятие как конкретная общность, т. е. как принцип ряда. Возьмем, напр., √2 или √3. Этими кратчайшими установками дан закон, или принцип, для бесконечно–большого количества действия и десятичных знаков, причем общность этого «квадратного корня из двух» или «квадратного корня из трех» заключается не в фиксации того, что обще всем получаемым здесь десятичным знакам (это было бы бессмыслицей), но в фиксации точного закона получения числа с любым количеством десятичных знаков. Для числа, из которого извлекается корень, точно, это было бы законом получения строго определенного количества знаков. — Возьмем то, что в математике называется специально рядом, напр. ряд Тейлора, который в элементарной алгебре дается обычно в виде т. н. бинома Ньютона, т. е. в виде двучлена любой степени. Уже школьник, изучивший алгебру, может очень легко получить любой член из возникающего здесь ряда, пользуясь формулой общего члена ряда, для которой нужно знать только порядковый номер члена ряда. Что это значит? Это значит, что имеется некая математическая структура —формула, которая обща для всех членов известного ряда величин, но обща не в виде понятия, никак не связанного с отдельными членами этого ряда, но в смысле общей формулы, общего закона, или принципа, дающего возможность опознать именно отдельные члены ряда, и притом любые.

Приведем примеры из механики. Всем известно, что значит «висеть», «вешать». Вот висят портреты, картины, часы, белье на дворе, одежда на вешалке и т. д. и т. д. Нет ничего проще, как вывести отсюда и общее понятие о висении. Но вот как поступает механика. Возьмем какой–нибудь определенный вид висения—напр., висения веревки, привязанной за оба конца, т. е. т. н. цепную линию. Оказывается, что направление, изгибание этой линии подчиняется точному закону и принципу, именно принципу гиперболического косинуса. Зная этот принцип, можно определить положение любой точки этой линии и, значит, целой бесконечности таких точек. Следовательно, цепная линия есть действительно логическое понятие, а не общее представление, и оно содержит в себе принцип для бесконечного количества отдельных индивидуальных моментов. — Возьмите понятие падения тела. Сколько бы миллионов раз мы ни наблюдали падение тела, мы никогда не получим понятия падения и будем барахтаться только в области представления о падении, если не реформируем самую природу понятия. Гении, создававшие механику, имели — хотя, может быть, и бессознательно — именно это тонкое и реформированное учение о понятии, а не вульгарное и ползуче–эмпирическое. Дело в том, что имеется опять–таки формула свободного падения тела в пустоте; она дает возможность определить положение падающего тела опять–таки в любой момент его падения, если известны начальный пункт, начальная скорость и ускорение силы тяжести. Это, кроме того, значит также и то, что строго научное и, в частности, логическое понятие есть всегда еще и принцип известного бесконечного ряда подпадающих под его понятие единичных предметов.

В механике известно т. н. гармоническое колебание, т. е. периодическое движение около некоторого центра. Имеется формула, дающая возможность определить положение колеблющейся точки в любой момент времени по заданным начальным условиям (т. е. по начальному положению и скорости). Это опять значит, что гармоническое колебание есть понятие как принцип, вообще говоря, бесконечного ряда.

Подобные примеры легко привести из любой науки, хотя в самой науке подобные понятия, ввиду их логического совершенства, отнюдь не могут быть получаемы легко. Даже история, одна из самых сложных наук, если где и может считаться наукой, то только там, где она вырабатывает такого рода понятия. Вне всякого сомнения, такие понятия, как «класс», «производство», «правительство» и т. д. и т. д., должны быть именно принципами известных рядов исторических фактов. «Античность», «средневековье», «возрождение», «просвещение» и пр., если проанализировать большинство ходячих руководств, остаются на стадии очень смутных общих представлений и еще не доросли до научных понятий. «Юлий Цезарь», «Петр I» и пр. — все это большею частью только набор того или иного количества случайных фактов, да еще историки обычно хвастались тем, что они приводят только факты и не делают произвольных обобщений. Это, конечно, свидетельствует только о примитивном состоянии науки, барахтающейся в частностях и не дошедшей до научных понятий. В противоположность этому Юлий Цезарь, скажем, Шекспира, Бернарда Шоу или Мом–мсена (независимо от правильности этих характеристик) есть именно понятия, методы, принципы, дающие возможность представить себе бесчисленное количество фактов, взглядов, поступков и событий, строго определенных именно данным методом, и Юлиан Ибсена или Мережковского, и Петр 1 Ключевского или Алексея Толстого есть тоже строгие принципы для бесконечного ряда поступков данных лиц, не только тех, которые даны тут у историков или беллетристов, т. е. на основании этих изображений можно судить и о любом отдельном жизненном случае, как тут поступил бы Юлиан или Петр.

Таким образом, понятие, рассмотренное с точки зрения метода бесконечно–малых, есть закон, или принцип, для бесконечного ряда индивидуальных предметов, дающий возможность получить любой предмет во всем его индивидуальном явлении. Только таким образом и осуществляется великое слово Ленина, признававшего, как мы уже знаем, всеобщее такое, которое воплощает в себе все богатство особенного, индивидуального, отдельного. Чтобы не загромождать изложения, мы ограничились немногим. Но ясно, что подобных примеров мы могли бы очень легко привести несколько сот, и притом из самых разнообразных наук.

В приведенных нами раньше категориях математического анализа и математики вообще неразъясненным остается переход от понятия к существенному отражению вообще. Мы рассмотрели, как отношение бесконечно–малого нарастания функции и аргумента стремится к пределу, к «производной», т. е. как чувственное представление стремится к понятию. Но мы еще не исследовали с достаточной ясностью, что это за переход от производной функции к первообразной, т. е. что это за переход от понятия к существенному отражению материальной вещи вообще. Чтобы внести в этот вопрос необходимую ясность, необходимо коснуться еще ряда категорий математического анализа.

7. ДАЛbНЕЙШИЕ КАТЕГОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ЛОГИКЕ

1. В математическом анализе нахождение производной от данной функции называется дифференцированием этой функции, а нахождение первоначальной функции по данной ее производной называется интегрированием; произведение производной функции на произвольное приращение аргумента именуется здесь дифференциалом, а первоначальная функция, получаемая из ее производной путем интегрирования, есть интеграл.

Существует в анализе и другое определение интеграла. Интеграл функции есть предел суммы произведений разных значений данной функции на приращение независимого переменного. Это понимание интеграла наглядно представляют при помощи такого элементарного геометрического образа: если мы возьмем криволинейную трапецию и разобьем ее на ряд т. н. элементарных прямоугольников (т. е. на ряд полосок), то площадь такой трапеции равняется пределу суммы таких элементарных прямоугольников, или, подробнее, пределу суммы площадей бесконечно умаляющихся элементарных прямоугольников при бесконечно возрастающем их числе; отсюда геометрически интеграл и есть эта площадь (при наиболее элементарном его представлении).

2. Применяя эту точную терминологию к логической области, мы можем сказать следующее, давая тем самым общую картину всех этих инфинитезимальных (т. е. построенных на понятии бесконечно–малого) заключений.

Материальная вещь есть независимое переменное, аргумент, или поскольку она носитель бесконечных и неистощимых становлений и свойств, то тут, как мы сказали выше, мы имеем огромное количество разного рода независимых переменных.

Полное и цельное существенное отражение вещи, или ее цельное мышление, есть функция этой материальной вещи.

Дифференциал существенно–отражающего мышления есть нечто, связанное с производной, т. е. с предельным переходом, т. е. с операциями над бесконечно–малыми. Что это за связь, мы сейчас увидим. Понятие это чрезвычайно важно для борьбы с метафизикой, имеющей в виду неподвижное, обалдевшее мышление; мышление здесь, как видим, дается тоже в виде сплошного процесса становления, иначе оно и не было бы отражением вечно движущейся и становящейся материи.

Кроме того, так как мышление есть функция многих переменных, то, по примеру математического анализа, мы прежде всего имеем в логике дело с частными дифференциалами, т. е. с дифференциалами в зависимости от какого–нибудь одного независимого переменного. Существует также и полный дифференциал, равный сумме всех частных дифференциалов. С понятием дифференциала мы входим уже в область серьезного инфинитезимализма в логике.

3. Именно, дифференцировать существенно отражающее мышление— значит получать понятие, т. е. понятие есть первая производная мышления. Дело в том, что адекватно и целостно отражающее материальную действительность мышление, взятое само по себе, так же неистощимо, так же бесконечно, так же бурлит неисчерпаемыми возможностями, как и отражаемая им материя. Иначе невозможно было бы и говорить об отражении. Однако и такое целостное отражение вещи, и такая сама вещь есть нечто слишком жизненно–насыщенное, есть нечто сложное и неанализиру–емое, даже излишнее для обыкновенного мышления, разговора и действия, ибо обыкновенное мышление, разговор и действие все же подходят к целостной и неисчерпаемой вещи с какой–нибудь одной или немногих сторон. Поэтому для реального употребления цельного мышления надо его дифференцировать, имея в виду только какое–нибудь одно независимое переменное. Тогда мы получаем не просто производную функцию, но именно т. н. частную производную. То, что в логике носит название понятия, есть именно эта частная производная от цельного отражения цельной материальной вещи по одному из тех независимых переменных, которые составляют данную вещь.

В самом деле, что такое, напр., понятие воды? Вода, если ее брать как существенное отражение подлинной материальной действительности воды, есть нечто бесконечное. Воду можно понимать физически, химически, производственно–технически, медицински, эстетически и т. д. и т. д. Таких пониманий—принципиально — бесконечное количество, ибо бесконечна сама объективная материальность воды. Но вот мы выбираем из бесконечного количества свойств воды только одну определенную группу свойств, напр. химическую. Но как это мы делаем? Процесс этот не такой простой. Мы ведь не сразу наталкиваемся на Н₂0 как на нечто готовое. Мы это Н₂0 должны найти, получить, высчитать. Мы наблюдаем известного рода явления, происходящие с водой, и подыскиваем для них те или иные мысленные отражения, т. е. так или иначе пробуем их фиксировать. И только среди этих бесконечных приблизительных и текучих процессов, происходящих с водой, мы начинаем видеть некую общность, а именно Н₂0, управляющую всеми отдельными химическими процессами, происходящими с водой. Поэтому химическое понятие воды есть предел и закон для бесчисленного количества соответствующих индивидуальных чувственных фактов. И так как наряду с химическим понятием воды могут быть и другие, то такое понятие мы и называем частной производной нашего общего понимания воды, отвечающего бесконечности самого материального бытия этой воды по одной из ее сторон, а именно, по ее химическому составу.

Конечно, и всякий, незнакомый с математическим анализом, может, употребляя данный термин в расплывчатом, обывательском значении, тоже говорить, что понятие получается из общего мыслительного процесса путем дифференцирования. Однако у обывателя это—ничего не говорящая общая фраза. Математический же анализ учит нас тут точности и строгости. Дифференцировать здесь означает: 1) взять вещь (воду) в ее непрерывном изменении, в ее бесконечно–малых нарастаниях; Ϊ) в том же виде взять и соответствующее ей мыслительное отображение; 3) взять отношение между тем и другим, которое, очевидно, тоже сплошно и непрерывно меняется (раз меняется и сама вода, и мысль о ней); 4) это отношение рассматривать, не беря всю вещь целиком, а только некоторый один из ее моментов; и, наконец, 5) отношение это, непрерывно становящееся, взять как ставшее, как завершенное, как предел. И вот этот–то предел и есть в данном случае химическое понятие воды как именно Н₂0. Имеет ли что–нибудь общее это логически развитое дифференцирование с тем смутным и нелепым пониманием дифференцирования, которое мы находили у обывателя? Если даже и не выдвигать все указанные признаки точного понятия дифференцирования, то во всяком случае необходимо помнить, что в логике понятие есть обязательно предел бесконечно приближающихся к нему чувственных представлений, которые, оставаясь чувственными представлениями, никогда не могут достигнуть понятия, но могут приближаться к нему с любой точностью. И поэтому чувственное представление вещи, в конце концов, тоже есть определенная функция самой же вещи. Но чтобы сохранить в целости всю логическую специфику чувственного представления, надо его понять как только некое приближение к пределу и надо эту предельную величину интегрировать, чтобы отсюда уже прямо перейти к самой вещи, интегрально данной в существенно отражающем мышлении.

Тут, однако, мы переходим к чрезвычайно важным категориям дифференциала и интеграла в логике, которым должно предшествовать развитое учение о логической сущности производной функции.

8. ПРОИЗВОДНАЯ В ЛОГИКЕ

Дадим теперь логический анализ понятия производной и тем самым изучим, что такое производная в сфере логического мышления.

1. В чем заключается дифференцирование, когда мы идем от первообразной функции к ее производной — в области мышления? Здесь мы идем от цельного и полного отражения, или смысла, вещи, как оно есть, к одному из возможных ее понятий. Это «дифференцированное» понятие, конечно, содержится уже в цельном й полном отражении вещи. Однако оно содержится здесь до перехода этого отражения в его инобытие: у\ данный сам по себе, без всякого Δy есть то, что еще не перешло ни в какое свое становление, ни в какое свое инобытие. Конечно, это становление будет в полной зависимости от того, что такое сам у. В этом у уже заложены его инобытийные судьбы; здесь они уже даны в своем простейшем, в своем зародышевом и, так сказать, «недифференцированном» состоянии. То, что выделено и формулировано в виде понятия, здесь находится в слиянии с другими элементами данного цельного отражения, из которых—путем аналогичного процесса — тоже могут быть получены соответствующие понятия. Однако даже и такое представление о производной и интеграле все еще не может считаться вполне конкретным. В математическом анализе эти категории гораздо конкретнее и богаче, и мы в предложенной концепции все еще не исчерпали их до конца.

2. Прежде всего надо устранить одно недоразумение, возникающее здесь в связи с традиционной логикой. Если исходить из той концепции понятия, которая фигурирует обычно, то не может быть никакого разговора о понятии как о чем–то определяемом через производную.

Производная есть функция, т. е. некоторая совокупность действий над некоторым аргументом. Понятие же в логике дается как самостоятельная, ни от чего не зависящая величина.

Далее, производная есть не просто функция, но функция, определенным образом полученная из другой функции. Никакого намека на это в традиционном учении о понятии совершенно не имеется. В производной все составляющие ее элементы строго связаны между собою определенным порядком действий. Если у = ах2 + bx + с, то тут строго предусмотрены и все те действия, которые необходимо произвести над χ, и самый порядок всех этих действий. Что же касается понятия в его школьном понимании, то оно не только не понимается как полученное из определенного ряда действий, но тут и вообще не мыслятся никакие действия, а все сводится только к формальному перечислению «признаков», совершенно независимо от их порядка, от их взаимоотношения, от закона объединения их в целое понятие. При таком отношении к понятию, разумеется, будет бессмысленным не только понимание его при помощи производной некоторой функции, но и вообще всякое иное, кроме механистического, сведение его на безразличную сумму признаков, ничем не связанных между собою и не имеющих никакого отношения к целому: так, если мяч есть резиновый шар с нагнетенным воздухом, то ни «резина», ни «геометрический шар», ни «нагнетение», ни «воздух» не имеют ровно никакого отношения к тому мячу, которым играют дети.

Если мы интерпретируем понятие как определяемое через производную, то, очевидно, вовсе не для того, чтобы обосновать школьную механистическую логику. Эта интерпретация вызвана стремлением именно выйти за пределы школьной логики и понять эту последнюю не как абсолютную и единственно данную, но как условную и относительную, как одно из возможных, и притом достаточно грубых, приближений к истинной логике.

Прежде всего, понятие для нас есть именно функция. Оно не абсолютно; оно не есть то, перед чем надо падать ниц и молиться; оно само есть только результат определенной зависимости от чего–то другого, что может с гораздо большим правом считаться «независимым переменным», а именно результат зависимости от изменений материи. Меняется материя—меняется понятие. Не меняется материя—не меняется и понятие. Можем ли мы при этих условиях понимать понятие не как функцию? Думается, на это нет у нас ровно никакого права. Хотя понятие и не есть только функция, но что оно в первую голову есть именно функция, в этом сомневаться не приходится. Итак, понятие есть функция вещи. Это одно уже сразу ставит понятие в близкую связь с производной, хотя одним этим такая связь, конечно, далеко еще не исчерпывается.

Далее, есть ли понятие просто функция вещи и больше ничего? Нет, так сказать нельзя. Она есть в конце концов функция вещи. Но одного этого сказать было бы очень мало для характеристики существа понятия. Это было бы весьма абстрактно. То понятие, о котором говорит логика, есть понятие как совокупность признаков. Уже одно это рисует нам природу понятия не как просто полученную из вещей в непосредственном виде, но как известным образом переработанную, ибо признаки понятия вещи отнюдь еще не есть и свойства самой вещи. Если карандаш есть орудие для письма при помощи графита, то, напр., окраска карандаша, его цилиндрическая или граненая форма, его размеры и вообще реальные качества карандаша как вещи вовсе не входят в понятие карандаша, ибо для этого понятия нужны только те признаки, которые были сейчас перечислены при определении карандаша. Значит, понятие как совокупность признаков вовсе не есть просто вещь как совокупность свойств и не находится от них в простой и непосредственной зависимости. Но тогда—откуда же нам получить это понятие как совокупность признаков?

3. Ближайшее рассмотрение показывает, что всякое понятие как совокупность признаков есть, прежде всего, нечто цельное и неделимое, подобно тому как и мяч, которым играют дети, хотя и состоит из множества разных отдельных свойств, все же есть нечто одно и неделимое; и когда дети бросают этот мяч один от другого, они оперируют им как раз в виде некоей неделимой целости. Эта цельная неделимость понятия выступает постоянно в нашем реальном мышлении и языке, в нашем разговоре и письме, потому что, когда мы, напр., быстро произносим или пишем ряд фраз, то мы вовсе не думаем об отдельных признаках употребляемых нами понятий, а пользуемся этими понятиями, как будто бы они и внутри себя, и в своем взаимоотношении были совершенно нерасчлененными. Совершенно ясно, что разделение понятия на признаки требует того, что именно тут разделяется. Ясно то, что если в понятии этой неделимой цельности нет, то признаки могут только раздробить его на взаимно дискретные части и таким образом превратить цельное понятие во столько разных и взаимно изолированных понятий, сколько в нем мыслится признаков. Следовательно, понятие как совокупность признаков есть только развитие и расчленение понятия в первичном смысле, понятия как такового, понятия как смысловой индивидуальности, не сводящейся ни на отдельные признаки, ни на их совокупность.

А это значит вот что. Развитое понятие есть не только функция вещи, но и функция какой–то еще другой функции вещи, а именно той функции, которая есть прямое и существенное отражение вещи в том виде, как эта вещь реально существует в своем цельном и неделимом виде, несмотря на всю свойственную ей .полноту и бесконечность, неистощимость самопроявления. Здесь мы еще ближе подходим к производной, которая есть тоже функция от функции; как видно, мы здесь еще не доходим до полной конкретности, ибо тут еще не поставлен вопрос, какого рода происхождение производной от первообразной. Есть ли это то же самое, что и происхождение понятия как развитой совокупности признаков из понятия как неделимой цельности, и как связана производная с этим происхождением? Сейчас мы перейдем к решению этого вопроса. Но пока запомним получившийся у нас результат.

1) Первичное и существенное отражение вещи, как бы оно ни было расчленено в себе, выступает сначала просто как нечто единое, цельное и неделимое, как просто «недифференцированное» понимание вещи. 2) Это понимание, будучи сопоставляемым с изменениями вещи в своем цельном, законченном виде, начинает расчленяться, дробиться, переходить в инобытие. 3) Однако поскольку процесс этот происходит все же в недрах отражения, т. е. в недрах понимания, то и результат этого дробления есть тоже смысловой результат, т. е. он соотносится сам с собой не вещественно–причинно, но, так сказать, «[пони ]мательно». И вместе с тем дробление возникло как функция вещи. Возникает вопрос: что же это за дробление вещи, которое в то же время есть материальная функция? Что это за деление понимания вещи, которое есть в то же время и вещественное его дробление?

Очень важно уметь четко ответить на этот вопрос. Тогда, и только тогда, выяснится и все огромное значение производной в логике.

Ответом на предложенный вопрос является следующее. Это есть не что иное, как превращение дробимого начального понимания в родовое и видовое понятие. Вид — это есть такая дробность, которая есть сразу и одновременно и смысловая, и материальная дробность. Ведь смысл вещи есть отражение вещи, т. е. всякий смысл есть всегда некое отношение и соотношение (ибо понимание есть всегда понимание чего–нибудь). Дробить понимаемый смысл как именно смысл — это значит находить частное отражение, т. е. это значит все–таки сохранять самый принцип отражения, или соотношения. Но это же значит и дробить вообще, дробить вещественно, материально, т. е. дробить на такие куски, которые уже никак не соотносятся с дробимым и с другими кусками и которые есть нечто самостоятельное.

Что делается тогда, прежде всего, с этим дробимым и неделимым пониманием вещи, которое есть ее отражение? Он[204] теперь отражает уже не просто вещь (этим он был с самого начала), но и всю ее материальность, т. е. ее развитие, ее изменение, ее движение, т. е. дробление, и частичное проявление. Если я имел у себя в мышлении смысл, например, дома, то я просто только понимал, что такое дом, и больше ничего. Если же я начинаю расчленять этот смысл под влиянием того, что дома бывают разные, что они меняются, что они имеют свою историю, то смысл дома становится общностью, общим понятием дома, родовым понятием дома. Таким образом, смысл вещи, расчленяемый материально, но в то же время остающийся ее смыслом, есть не что иное, как родовое понятие вещи.