Помоги проекту - поделись книгой:
1. Эта аксиома самотождественного различия может быть выражена иначе, и в связи с этим есть смысл в соответствующем видоизменении этой аксиомы и для интенсивного и экстенсивного числа. А именно, поскольку в этих аксиомах идет речь об инобытии, полезно ввести различие «элемента» и «части». Говоря кратко и обще, элемент есть смысловой момент целого, а часть — инобытийный момент целого. Например, если условно согласиться, что точное определение прямой есть то, которое всегда дается в школах («прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками»), то на основании этого можно сказать: элементом прямой является наличие двух точек и частью прямой является тот или иной ее отрезок. Это, однако, относится скорее к определению понятия прямой и к определению элементов понятия прямой, а не самой прямой, и потому можно привести более яркий пример. Если я разобью мелодию, разыгрываемую на скрипке, на отдельные ноты, то каждая такая нота будет частью мелодии; когда же я реально начинаю играть на скрипке и всю эту мелодию воспринимаю как целое, то каждая нота уже оценивается в сфере целого, и тогда она не часть целого, но элемент целого. Часть есть инобытие элемента точно так же, как и все части, т. е. все есть инобытие всех элементов, т. е. инобытие целого. Целое осуществлено во всем, и элемент осуществлен в соответствующей части. Целое объем лет части и одухотворяет их, без чего они остались бы самими собою и не имели никакой связи ни между собою, ни с целым. Никакая отдельная линия, взятая сама по себе, не есть квадрат, и мы можем взять тысячу прямых, и из них никакого квадрата не получится. Но достаточно взять только четыре прямых и привнести извйе идею квадрата, как вдруг получается и самый квадрат. Идея же четырехугольника тоже не имеет ничего общего ни с самими прямыми линиями, ни с линиями вообще; иначе пришлось бы сказать, что сама идея четырехугольника четыреугольна или четырелинейна, что было бы нелепостью. Итак, целое и все, т. е. элемент и часть, взятые сами по себе, не имеют друг к другу никакого отношения; они взаимно инобытийны и диспаратны. И только вступая в объединение, они начинают осмыслять и оформлять друг друга. В различиях формы этого объединения и коренится расхождение трех аксиом самотождественного различия.
2. а) Во–первых, часть может быть подчиненной элементу, т. е. целое может в точности равняться сумме своих частей. Другими словами, здесь сначала даются различия смысловые, а потом механически примыкают к ним различия фактические, инобытийные. Вернее, сначала проводятся различия смысловые, потом оказывается, что это же и есть различия инобытийные. Таково арифметическое число. Здесь по смыслу дается столько–то элементов (или единиц); и тут же оказывается: столько имеется и частей, т. е. столько же имеется различий и по факту, по инобытию; иначе выражаясь, сумма частей и есть все целое, целое в точности равняется сумме своих частей. Это возможно только тогда, когда дан смысл без инобытия, т. е. абстрактный смысл. Тут целое в полном смысле слова делимо на свои части, но возможно это только в том случае, если первоначальные различия установлены как чисто смысловые, а инобытийные только следуют за этими, не привнося ничего нового.
b) Во–вторых, отношение между элементами и частью может быть обратное, а именно элемент может быть подчинен части и целое — сумме своих частей. Это возможно, очевидно, когда вся система переходит в инобытие. Тут мы забываем о смысловых различиях и сначала даем волю инобытийным различиям. Когда установилась та или другая система инобытийных различий, т. е.
та или иная система частей, мы, не производя никаких специально смысловых различий, только фиксируем смысловым образом то, что получилось в результате инобытийных различий, и этим ограничиваемся. Такова система отношений в геометрической совокупности. Здесь, забывши о том, что такое чистая и абстрактная единица, чистая и абстрактная двойка, тройка и т. д., мы отдаемся во власть инобытийного раздробления, нагромождая путем бесконечного дробления одну часть на другую, а потом, выбравши то или иное взаимоотношение частей, которое получилось в результате инобытийного становления, фиксируем его как таковое, и — получается точка, линия, плоскость и пр. Здесь элементы (смысловые акты) следуют за своим инобытием, элементы следуют за частями. Может ли здесь целое равняться сумме своих частей? Очевидно, нет, но сумма частей образует здесь свое целое, независимое от того первоначального и абстрактного целого, из которого мы исходили. Целое есть везде—и в арифметике, и в геометрии. Но в арифметике оно равняется сумме своих частей, и сумма эта всецело им определена. В геометрии же целое перешло в инобытие, и потому оно уже не зависит от себя, но определено своим инобытием, т. е. суммой своих частей. В арифметике целое равно сумме своих частей, а в геометрии сумма частей равна своему (своему собственному) целому.
[с)] Наконец, в–третьих, между частью и элементом может быть полное равновесие, и целое может ровно в такой же мере быть подчиненным сумме своих[23] частей, как и обратно сумма частей — целому. Это происходит во множествах следующим образом. Здесь инобытие продолжает определять смысловую значимость элементов и сумма частей продолжает определять собою целое. Но это целое оказывается уже не чем–то противоположным первоначальному целому и инобытийным в отношении к числу, но оно оказывается ровно в той же мере чисто смысловой структурой, как и само арифметическое число, лишаясь того противостояния смысла и факта, которым инобытие как раз и отличалось от чистого смысла. В чистом смысле, мы знаем, нет положенное™ различия между бытием и инобытием; инобытие тут есть также бытие, оно определяет собою различие внутри бытия же, нисколько не мешая ему быть бытием, а только делая его внутренно раздельным. В инобытии же самая яркая особенность — это разрыв между смысловым бытием и алогическим инобытием и их несовпадение во всех существенных пунктах. Так вот, во множестве и оказывается снова снятой и уничтоженной эта противоположность бытия и инобытия, уничтожен это разрыв и снова восстановлена простота и неинобытийность чистого числа. Конечно, это с сохранением (теперь уже.смысловым сохранением) той инобытийной регулировки, которая была достигнута на стадии примата частей над элементами, инобытия смысла над самим смыслом. Тут, стало быть, мы находим подчинение целого сумме частей, но сама сумма здесь такова, что она ничем не отличается от чисто смысловой структуры целого. Целое окунулось в инобытие, но не рассыпалось на бесчисленные части, что сулило ему это инобытие, а только вобрало их в себя смысловым образом, получило вместо абстрактной значимости фигурную разрисовку, но не перестало быть чистым смыслом.
3. Отсюда три формулированные выше аксиомы самотождественного различия могут быть выражены еще и таким образом.
Арифметическое число есть такая совокупность элементов, в которой каждая часть подчинена соответствующему элементу и целое в точности равняется сумме своих частей.
Геометрическая величина есть такая совокупность элементов, в которой каждый элемент подчинен соответствующей части и сумма частей не равняется целому, но сумма эта сама определяет для себя самостоятельно свое целое.
Множество есть такая совокупность элементов, в которой каждый элемент и соответствующая часть находятся в полном равновесии, так что целое хотя и не равняется сумме частей, но эта последняя образует из себя как раз то самое целое, которое перешло в сумму частей.
4. а) Относительно множества также может быть выставлен ряд положений, с полной очевидностью вытекающих из этой аксиомы и являющихся, собственно говоря, лишь иным ее выражением, хотя для математиков здесь лежат неимоверные трудности и парадоксы.
1. Множество как целое больше своей части и, следовательно, больше всех своих частей, потому что целое хотя и состоит из частей, но содержит в себе и то, чего нет ни в одной части.
Только диалектика может понять и совместить эти взаимно противоречащие утверждения.
b) Хотя внимательный читатель и вполне понимает, что указанные положения относительно множеств обладают чисто логическим характером, тем не менее во избежание недоразумений надо сказать, что в математике самый термин «множество всех частей» имеет совсем другой смысл, а именно тут имеются в виду все части независимо от их взаимного перекрытия, гак что мощность множества всех частей множества всегда больше мощности этого последнего (напр., мощность множества всех частей счетного множества есть даже мощность континуума). Однако и без этого теория множеств не брезгует выражениями, указывающими, несомненно, на антиномию целого и части.
Множество τ называется частью множества φ, если всякий элемент τ принадлежит к φ. При этом если τ часть φ, но φ не часть τ, то τ — правильная часть φ; если же φ часть тих часть φ, то τ — неправильная часть φ. Относительно правильной части вопроса не возникает. Но что такое «неправильная» часть? Ведь, в сущности говоря, когда φ и τ являются одно в отношении другого частями, то это возможно только в одном случае, а именно когда они эквивалентны, т. е. попросту когда φ и τ суть разные названия для одного и того же множества, так как все их элементы в этом случае совершенно одинаковы. Но тогда под «неправильной частью» множества можно понимать, очевидно, только совокупность всех неперекрывающих одна другую частей, из которых и состоит данное множество. Утверждая, что все элементы τ принадлежат φ, мы выделяем из φ некоторую определенную часть, соответствующую элементам τ, но когда мы к этому прибавляем, что также и все элементы φ принадлежат к τ, то мы из τ вырезаем определенную часть соответственно элементам φ, т. е. в результате мы начинаем эти вырезанные из φ и τ части считать всеми частями и φ, и τ, вполне соответственными входящим в это единое множество элементам.
Все это рассуждение тотчас же получает острейший диалектический смысл, как только мы его зафиксируем в таком тезисе, непосредственно вытекающем из самого рассуждения: всякое множество есть часть самого себя по одному тому только, что всякий его элемент есть именно его элемент. Тогда появляется необходимость утверждать и то, что всякое множество меньше себя самого, как, правда, и то, что всякое множество больше себя самого, ибо в этом суждении и «больше», и «меньше» и субъектом, и предикатом является одно и то же множество, и можно сколько угодно взаимно их переставлять и получать каждый раз утверждение, обратное предыдущему. Однако единственный здравый смысл этой антиномики заключается в выше развитой антиномике целого и всего, или целого и частей.
с) Но даже если брать термин «множество всех частей» в специфическом теоретико–множественном значении, то и тут дело не обойдется без антиномии, хотя формулировать ее можно иначе. А именно, «целое» и «часть» могут находиться в диалектическом противоречии только тогда, когда они рассматриваются в качестве чистых понятий (как это и сделано у нас выше), т. е. когда эти понятия сами являются самостоятельным субъектом со своей собственной судьбой, или самостоятельным организмом, а не обладают только лишь инструментальным характером, не оказываются только лишь средством, которое употребляет какой–то другой субъект («человек») для целей осмысления чуждого инобытия. Как чистое инобытие смысла есть его становление, т. е. его бесконечное распыление, так чистый смысл есть восстановление инобытия, т. е. его бесконечная собранность. Так «движение» есть инобытие «покоя». Но если движение совершается с бесконечной скоростью, то движущееся сразу находится во всех точках бесконечности; и так как дальше бесконечности уже нет никаких других точек (поскольку всех их она уже вместила в себе), то такое движение с бесконечной скоростью вполне тождественно с покоем. Поэтому диалектика отличается от прочих способов рассмотрения понятий тем, что она берет эти понятия как бесконечные сгустки бытия, как пределы. А в математике только там воочию видна диалектика, где идет речь о бесконечности, так как конечные величины хотя и подчинены диалектической антиномике, но последняя в них не выявлена непосредственно, а только с необходимостью предполагается при достаточно систематическом подходе.
Итак, «множество всех частей» множества должно с необходимостью и воочию выявить антиномику целого и частей в том случае, если будем оперировать с бесконечным множеством. И действительно. Пусть мы имеем множество φ всех вещей. Поскольку множество χ всех частей этого множества своею мощностью выше этого последнего, постольку множество φ эквивалентно только части множества т. Но из чего состоит х? τ состоит все из тех же вещей, из каких и φ, т. е. всякий элемент χ есть и элемент φ. А это значит, по указанному выше определению части, что χ эквивалентно некоторой части φ. Но если φ и χ эквивалентны частям друг друга, то, опять–таки по указанному выше, и сами φ и χ эквивалентны. Итак: φ и χ и эквивалентны, и неэквивалентны. х, как множество всех частей φ, не эквивалентно φ; но так как φ есть множество всех вещей, то никакое χ не может его превзойти, и, будучи столь же бесконечным, оно совпадает с φ.
Поэтому, если среди аксиом учения о множествах попадается и аксиома о Potenzmenge, о множестве всех частей множества, то mutatis mutandis[24] и она не бесполезна для иллюстрации антиномики частей и целого. Эта аксиома формулирована у Френкеля так: «Если существует множество ш, то существует и множество U, которое содержит в качестве элементов все подмножества га, и только их».
1. Прежде чем формулировать аксиомы теории вероятностей, сделаем ряд замечаний, которые послужили бы к философскому уяснению своеобразия всей той совершенно специфической области в дополнение к общей установке, намеченной в § 9. С понятием вероятности мы вступаем в область того, что в логике называется модальными категориями, среди которых обычно насчитывают три — необходимость, возможность и действительность. Надо дать элементарное разъяснение этих категорий.
2. До сих пор мы не встречались с этими категориями. Почему? Это было потому, что мы имели дело исключительно только с самим смыслом (с «идеальным» бытием). Беря смысл сам по себе — число как число, — мы не можем сказать о нем ни того, что оно необходимо, ни того, что оно возможно, ни того, наконец, что оно действительно. Ибо эти три сферы нуждаются в числе и без него невозможны, само же число не нуждается в них и обсуждаемо само по себе. Число «пять» одинаково может быть и необходимым, и возможным, и действительным. Значит, самый смысл пятка нисколько не зависим от этих сфер. Что же получается при переходе в эти сферы? Получается то, что из сферы смысла мы должны перейти в сферу факта, к инобытию смысла, но не в том смысле, как мы находим инобытие внутри самого числа (и получали интенсивное, экстенсивное и эйдетическое число), а в том смысле, что мы перешли к инобытию в отношении всей вообще сферы числа. Теперь мы оперируем не просто с моментами чистого смысла, но все время смотрим на сферу возможного их осуществления, как бы примеряем их к действительности, наблюдая степень их реальности, степень возможного осуществления. В этой общей области взаимоосвещения смысла и факта и зарождаются категории модальности. Их мы должны, однако, наметить подробнее и яснее, чем это обычно делается в логических исследованиях.
3. Возьмем тот или иной момент чистого смысла. Вообразим себе, что этот момент может предстать перед нами как осуществленная, овеществленная, фактическая действительность. Но мы пока не будем ничего предпринимать для осуществления этого смысла. Мы только запомним, что это осуществление должно потребовать каких–то новых актов, каких–то усилий с той или другой стороны, чтобы стать реальной жизнью. Каждый момент фиксируемого нами смысла должен превратиться в какую–то реальную силу или подвергнуться воздействию чьей–то силы; без этого невозможно никакое осуществление. Имея это в виду, обратим свои взоры на чистый смысл. Он, видим, есть полная этому противоположность. В нем все вытекает само собою из целого и из отдельных моментов. Тут нет никаких «вещей», которые надо было бы «двигать»; тут нет никаких сил, без наличия которых ничего не осуществилось бы. Тут все ясно само собою, независимо от того, осуществляет это кто–нибудь или нет. Даже наша собственная мысль тут неважна. Я, например, могу не уметь логарифмировать, но самый логарифм от этого нисколько не страдает. Даже если бы никто никогда не логарифмировал и человечество не имело бы об этом никакого представления, все равно логарифм был бы логарифмом и, в частности, природные процессы так же осуществляли бы в себе эту функцию, как они осуществляют ее и сейчас, при нашем знании логарифмов. Вот эта точка зрения, когда мы противопоставляем смысл его факту без фиксирования, однако, самого факта, и ведет к установке необходимости смысла. Смысл сам по себе не есть необходимость. Но когда смысл берется на фоне своего осуществления, хотя в то же время само это осуществление не фиксируется, а только присутствует отрицательно как принцип, то так модифицированный смысл есть необходимый смысл, необходимость.
Смысл факта в освещении факта, но без самого факта есть необходимость. Факт же смысла в освещении смысла, но без самого смысла есть случайность. Необходимость и случайность, следовательно, возникают в сфере взаимоосвещения смысла и факта, но в условии отсутствия того члена, в сфере которого мыслится данный член. Бытие–смысл, для того чтобы стать бытием–необходимостью, должен отличаться от своей противоположности, потому что мыслится как окруженное темным фоном того, что не есть бытие–смысл. Что это именно такое, можно и не знать. Знаем только, что кругом нечто такое, что не есть и чистый смысл, не есть и чистое бытие. При желании мы можем перевести глаза с этого зафиксированного чистого бытия–смысла на смешанное и мутное бытие–факт. Но тогда первое будет мыслиться как окружающий фон, вернее, как неприступные границы, и тогда чистое бытие–смысл станет неясным, присутствующим только отрицательно, как принцип возможных осуществлений. Получается бытие случайное. Когда мы хотим мыслить бытие, алогическим фоном для этого (или, как говорят, диалектическим отрицанием этого) обязательно является инобытие, когда мы мыслим смысл, обязательно в качестве возможного принципа примышляется внес–мысловая данность. Но когда мы мыслим необходимость, требуется отрицательное примышление случайности. Но это бытие исключает из себя всякую замутняющую его стихию, всякую нелепость и недостоверность, т. е. попросту всякое его отрицание, хотя последнее и должно быть положено вне самого бытия, чтобы это бытие могло от него отличаться. Точно так же случайность есть бытие, но это бытие исключает из себя всякую достоверность и закономерность, т. е. всякое свое полагание, утверждение (ибо полагание ведет к различению, к тождеству, т. е. к фигуре и т. д., т. е. к закономерности), хотя это полагание и должно мыслиться вне бытия случайности, чтобы было от чего этой последней отличаться. Поэтому более или менее точно можно сказать так.
Необходимость есть бытие. Необходимость есть бытие, которое полагает себя путем полагания вне себя своего отрицания, перенося свое самоотрицание из себя за пределы себя. Случайность же есть бытие, которое полагает себя путем отрицания себя внутри себя, т. е. путем самоотрицания, перенося свое самоотрицание извне на самого себя.
4. Смысл и факт есть абсолютная противоположность, т. е. хотя они и предполагают одно другое, но на них самих не отпечатлена эта взаимопредполагаемость. Это есть противоположность для иного. Чтобы она стала противоположностью для себя, т. е. чтобы каждый из ее членов отобразил на себе свою противоположность иному, необходима перестройка того и другого члена. Уже необходимость и случайность есть такие категории, которые демонстрируют собою некое взаимное сближение обоих членов изучаемой противоположности. Именно, в то время как «смысл» предполагает свое явление, т. е. факт не сам по себе, но в чьем–то постороннем сознании, «необходимость» уже в самом своем логическом содержании предполагает соотнесенность со «случайностью». Правда, смысл отображает здесь фактическое бытие пока еще очень абстрактно; а именно он покамест только требует, чтобы оно просто присутствовало, чтобы оно было вполне принципиально. Тут А указывает на то, что где–то и как–то есть еще и В, что этого В не может не быть принципиально, в то время как раньше А существовало так, что по нему нельзя было узнать, есть ли где–нибудь В (хотя мы–то и знали, что оно где–то обязательно есть). Однако возможно, что но А мы узнаем не только о принципиальном наличии В, но еще и о содержании этого В, о его свойствах, о его смысле, так же как и по В узнаем о свойствах А. Это будет уже гораздо более интимное воссоединение смысла и явления, и тут будет недостаточно — с точки зрения модальности — одной пары категорий необходимости и случайности. Смысл в свете факта, но без самого факта есть необходимость. Необходимость же в свете случайности, но без самой случайности есть вероятность. Точно так же: факт в свете смысла, но без самого смысла есть случайность; случайность же в свете необходимости, но без самой необходимости есть реальная возможность.
Необходимость есть тождество смысла и бытия в сфере самого смысла, равно как случайность есть тождество смысла и бытия в сфере самого бытия. Вероятность также есть тождество смысла и бытия в сфере самого смысла, равно как возможность есть тождество смысла и бытия в сфере самого бытия. Но необходимость привлекает для своего синтеза бытие в качестве внутрисмыслового бытия, поскольку самый синтез этот совершается в сфере смысла, оставляя прочее бытие вне себя как бесполезное марево, нужное только как логический принцип для ограничения (т. е. определения) смысла. Вероятность же, оставаясь по–прежнему смысловой конструкцией, вбирает в себя смысловое содержание этого случайного инобытия, пребывавшего во всей своей бесполезности и раздробленности. Смысл сам начинает тут перекрываться внешним себе инобытием, продолжая, однако, подчинять его себе. Но раньше он подчинял его себе так, что инобытие в нем растворялось без остатка (и чистый смысл только стал внутри обоснованным, т. е. стал необходимостью). Теперь же смысл не может просто растворить в себе инобытие, но инобытие накладывается на него вторым слоем, так как однажды оно уже поглотило его в себя и тем перекрылось определенным слоем внутреннего инобытия. Однако что же это значит — приятие второго слоя инобытия? Первый слой, появившийся в результате приятия в себя смыслом своего инобытия, ушел на внутреннее самообоснование самого смысла, на конструирование «необходимости». Теперь чистый смысл уже в себе обоснован. Дальнейшее привлечение инобытия уже не может выполнять функции внутреннего самообоснования чистого смысла. Внутренне самообоснованный смысл, приявший на себя новую энергию инобытия, может оставить его при себе только с его собственными, т. е. уже чисто внешними, функциями, которые ведь только и свойственны ему в первоначальной форме как именно инобытия. Однако мы сказали, что инобытие здесь понимается пока не в своей абсолютной, субстанциальной положенности. Покамест мы говорим о таком смысле, который принял на себя только смысловое содержание инобытия. Но ведь смысл у нас теперь есть самообоснованный смысл, необходимость; и что бы в нем ни находилось — пусть этот второй слой инобытия, — он все равно есть некое обоснование. Следовательно, получается внутренне обоснованный смысл, который как таковой обосновывает и внешнее инобытие, им на себя принятое, но, поскольку последнее берется только в своем смысловом содержании, он и обосновывает это внешнее инобытие только смысловым же образом. А это и есть вероятность. Вероятно ведь то, что имеет для себя основание; и так как всякое основание есть основание в сфере смысла, то вероятно то, что обосновано в сфере смысла. Но обоснование может быть как чисто смысловым, так и чисто фактическим. Фактически обосновать — значит, быть причиной. В смысловом же отношении обосновать — значит, сделать вероятным. Вероятность и есть такой самообоснованный смысл, который, кроме того, обосновывает еще и внешнее для себя инобытие, но обосновывает его только смысловым образом. Необходимость есть самообоснованный смысл, но для себя. Вероятность же есть самообоснованный смысл для иного, или необходимость смысла для иного. Вероятность утверждает, что для бытия есть смысл, но она как раз ничего не утверждает о том, есть ли само бытие.
С другой стороны, мы имеем возможность. Возможность мы отличаем от вероятности тем, что относим ее (как и случайность) в сферу факта, в то время как вероятность мы понимаем как нечто смысловое. Как необходимость, вбирая в себя смысловое содержание инобытия, становится вероятностью, так случайность, вбирая в себя смысловое содержание смысла, становится реальной воз–можностъю. Одно дело, когда вещи могут быть или не быть по смыслу; и другое, когда они могут быть или не быть реально. Одно дело — логическая (лучше сказать — смысловая) возможность, другое дело — фактическая сила, потенция. Первую мы и называем вероятностью, вторую же — возможностью.
5. Вероятность и возможность суть еще более глубокий синтез смысла и факта, чем необходимость и случайность. Можно, однако, этот синтез продолжить еще дальше. Можно говорить не о смысловом отождествлении смысла (необходимости) и факта (случайности), но о фактическом их отождествлении. Сначала смысл ни на что не указывал, но пребывал в уединении. Потом он стал указывать на свое инобытие, не входя при этом в его содержание и тем более не преследуя целей фактического с ним объединения. Это была «необходимость». Далее смысл стал указывать на самое содержание своего инобытия, так что, рассматривая смысл, мы тем самым рассматриваем и смысловое содержание его инобытия. Это была «вероятность». Теперь смысл указывает нам на самый факт своего инобытия, так что уже все равно, иметь ли с ним дело как со смыслом, иметь ли дело с ним как с фактом. Это фактическое субстанциальное тождество смысла и инобытия, смысла и факта, или смысла и явления, есть действительность. В ней встречаются и сливаются вместе логическая вероятность и фактическая возможность, когда обе они начинают одна другую на себе отображать. Необходимость была у нас смыслом в свете факта, но без самого факта и без осмысленности этого факта. Вероятность — это смысл в свете факта без самого факта, но с его осмысленностью. Действительность есть смысл в свете факта, но так, что она есть и осмысленность этого факта, и самый этот факт в его последней субстанции. Соответственно и со стороны инобытия: инобытие в свете смысла, но без самого смысла и его самообоснованности есть случайность; инобытие в свете смысла без самообоснованности смысла, а только с его содержанием есть возможность; инобытие в свете смысла, когда оно само есть смысл и по его содержанию, и по его самообоснованности, оказывается действительностью.
В таком виде можно было бы представить себе диалектическую таблицу модальных категорий, причем мы на данной стадии нашего исследования не входим в анализ еще особого вида модальности — выраженной, или понимаемой, действительности, о чем должно быть особое и весьма углубленное рассуждение.
6. После всех этих разъяснений мы можем приступить и к математической интерпретации категорий модальности. Математика вполне обладает аппаратом числовых конструкций модальности, и это в дальнейшем явится очень интересным предметом нашего специального исследования. В настоящую минуту мы можем сказать только то, что вся интенсивно–экстенсивно–эйдетическая сфера является, очевидно, сферой необходимости, что бытие вероятное и возможное получается в т. н. теории вероятностей, действительность — в т. н. статистике и даже модальность выразительной действительности можно выследить в некоторых отделах этих наук (напр., в т. н. вариационной статистике). Однако мы не будем здесь разрабатывать аксиоматику для всех решительно модальных категорий, так как это в значительной мере предвосхитило бы специальные отделы нашего исследования, так же как и в области интенсивного числа мы ограничиваемся только аксиомами арифметики. Однако мы все же не можем миновать самого главного, это — аксиом теории вероятностей. Чтобы перейти к ним, произведем общую числовую модификацию категории вероятности.
7. Вероятность отличается от необходимости тем, что вмещает в себе внешнее для себя инобытие, и вмещает только смысловым образом, так что она тем самым конструирует смысл инобытия, не конструируя, однако, его фактов. Это значит, что вероятность всегда есть некое смысловое отношение бытия и небытия. Мы смотрим на бытие–смысл и видим, что оно указывает на смысл инобытия, не указывая его факта, т. е. указывает на его возможность. Если брать обычные примеры теории вероятностей, то можно сказать так. Пусть в урне находится N шаров, и пусть Μ из этих шаров черные, а остальные белые. Обычно говорится, что вероятность вынимания черного шара равняется
Тогда понятным делается и то, какую форму примет вероятность, когда она станет действительностью. Действительностью бытие 10 шаров станет в том случае, если мы все эти 10 шаров реально вынем из урны, т. е. когда число возможных выниманий совпадет с числом наличных в урне шаров. В таком случае числитель и знаменатель изучаемого примера [25] будут равны и вероятность окажется равной единице. Следовательно, действительность есть такая вероятность, которая равна единице. Это понятно еще и потому, что единица есть полное полагание, а действительность это прежде всего есть полное полагание. С другой стороны, не трудно себе представить, что вероятность, равная нулю, окажется просто невозможностью. Это не требует пояснений. Стоит только указать на то, что вполне представима и вероятность, равная бесконечности. Если вдуматься в формулу
Другими словами, математическая вероятность в собственном смысле, т. е. когда она не есть ни нуль, ни бесконечность, может помещаться только между нулем и единицей, т. е. может быть только правильной дробью.
8. Теперь, наконец, мы можем сказать специально и об аксиоме самотождественного различия в математической теории вероятностей. Нетрудно сообразить по аналогии с этой же аксиомой в арифметике (§ 45), что вероятность есть прежде всего некая совокупность изоли–рованых моментов. Однако эта совокупность здесь вполне специфична. Она есть, как мы только что видели, отношение количества случаев, благоприятствующих событию А, к количеству всех равновозможпых, несовместимых и единственных случаев вообще. Вот это отношение здесь и рассматривается. В арифметике числа строятся так, что они сравнимы между собою и определяют друг друга, так что если есть а и есть А, то есть и с, которое есть их сумма. Также если есть с, то в нем всегда можно отличить одно от другого и найти такое а и такое Ъ, что их сумма как раз будет равняться с. То же самое мы находим в теории вероятностей. Если мы знаем, например, вероятность рождения детей вообще (в данной стране за данный промежуток времени), то мы можем сказать, что вероятность рождения мальчиков меньше вероятности рождения детей вообще и что последняя получится, если к этой вероятности мы прибавим еще вероятность рождения девочек. Отсюда и аксиома.
Аксиома самотождественного различия в теории вероятностей: математическая вероятность события есть отношение количества случаев, ему благоприятствующих, к числу всех единственно и равновозможных, несовместимых случаев, причем вероятность частного случая события меньше, чем вероятность события вообще, и предполагает соответствующее дополнение до нее.
9. Очень важно отметить, что те, кто занимаются аксиоматикой теории вероятностей, также сталкиваются с подобными постулатами. Я укажу на С. Н. Бернштей–на, который счел нужным[26] ввести здесь в качестве первейшей аксиомы т. н. аксиому сравнения вероятностей. Он формулирует ее так: «Если а есть вид (частный случай в узком смысле слова) события А, то вер. а<вер. А; обратно, если между вероятностями фактов αί и А существует неравенство вер. αγ <вер. А, то оно означает, что вер. αν — α, где а есть некоторый вид события А». С. Н. Бернштейн называет это аксиомой сравнения. Ее можно было бы назвать самыми разнообразными словами (например, по Гильберту, это была бы «аксиома связи» или «аксиома сочетания»). Мы же можем сказать только то, что единственное обстоятельство, выдвигаемое здесь, есть необходимость различения внутри данной вероятности большего или меньшего и их складывания в одну данную вероятность. Но это есть только результат функционирования категории самотождественного различия.
Аксиома эта почти не требует никаких пояснений. Само собою, конечно, разумеется, что вероятность рождения мальчиков меньше вероятности рождения детей вообще. Это первая часть аксиомы. Вторая часть гласит о том, что если вероятность смерти в течение года больше, чем смерти в течение месяца, то мы можем вычислить вероятность смерти и для более специфического случая, например для смерти 70–летнего по сравнению со смертью 20–летнего. Оказывается, что вероятность старику умереть в течение (примерно) трех недель та же, что и вероятность молодому человеку умереть в течение года. Следовательно, чтобы из первой вероятности получить вторую, надо ее соответственно восполнить.
Переходим ко второй большой составной категории в области идеальной структуры числа, к подвижному покою. Применить эту категорию к изученным нами областям математического предмета будет теперь легче, поскольку мы более или менее освоились со смысловым своеобразием каждой из этих областей и на большом примере уже могли почувствовать их диалектическое место.
1. Самотождественное различие давало нам в применении к числу совокупность, которая складывалась из элементов. Совокупность и была самотождественным различием этих элементов. Теперь, применяя категорию подвижного покоя, мы получим, очевидно, тоже совокупность элементов, но не в их самотождественном различии, а в их подвижном покое. Если числовая совокупность действительно подчинена категории подвижного покоя, то это значит, что каждый элемент ее движется к другому элементу и ко всему целому и успокаивается на другом элементе и на всем целом. Раньше мы натолкнулись на совокупность как на систему различных моментов, натолкнулись на само различие моментов и на их тождество с целым. Но мы не знали, можно ли перейти от одного момента к другому, и брали многоразличность внутри совокупности как данную, как мертвую, как утвержденную неизвестно кем и как. Сейчас мы видим, что элементы не просто различны, но что при всем их различии можно перейти от одного к другому и что каждый элемент именно требует такого перехода.
Но что значит, что элемент требует перехода от себя к следующему? Это значит, что всем элементам свойственна некая упорядоченная система, свойственна идея порядка. Если я должен от А перейти к В и этого требует само А, это значит, что А и В определенным образом взаимно расположены, что существует некий порядок, заставляющий А идти именно к 2?, а не к С и не к Ζ> и т. п. Совокупность элементов, воплощающая на себе категорию подвижного покоя, есть, стало быть, уже не «самотождественная совокупность изолированных элементов», но «совокупность определенно взаимно расположенных элементов». Взаимное расположение, определенным образом данное, и есть, с одной стороны, движение, поскольку каждый элемент, находящийся тут во взаимном расположении, уже сам по себе требует перехода к соответствующему новому элементу, а с другой стороны, это есть и покой, так как взаиморасположение элементов есть нечто вполне устойчивое и нисколько не текучее.
2. Укажем теперь результаты применения категории подвижного покоя в отдельных областях. Что тут получается для арифметического числа? После данной выше характеристики интенсивного числа вообще в отличие от экстенсивного мы теперь гораздо легче и с большей уверенностью можем высказать относящиеся сюда термины и конструкции.
Арифметическое число чисто от всякой числовой ино–бытийности. Оно, говорили мы, нулевым образом инобытийно, инобытийно–нулевое число. Это значит, что в нем действует его чистая и ровно ничем не замутненная, именно его собственная смысловая значимость. Единица есть единица, и двойка есть двойка — так это и остается в арифметическом числе, в то время как, например, в геометрии единица сама по себе совершенно ничего не дает в смысле геометрии, а надо, чтобы единица была еще раз положена, и положена на другом, не на числовом, а на инобытийно–числовом, пространственном фоне, т. е. чтобы эта единица превратилась в точку. Ничего подобного нет в арифметике. Там ни единица, ни другое число не переходят ни во что инобытийно–числовое, а остаются в своей чисто смысловой значимости. Когда мы говорим о порядке, то, очевидно, здесь тоже не должно быть иначе.
В арифметическом числе порядок единиц должен быть инобытийно–ну левым, т. е. он должен быть продиктован только самой же числовой значимостью чисел. Порядок и взаимное расположение чисел должны тут вытекать из значения самих чисел, а не от того «фона», на котором они даются, не от тех различных «расстояний» и «направлений», которые могут быть продиктованы этим «фоном». Тут только одно и есть «расстояние» между единицами— это просто перечисление единиц по их количественному значению: 1, 2, 3, 4… и т. д.; и тут одно только и есть «направление» — это то, которое определено значением самих чисел (в данном случае возрастание). Лучше же сказать, арифметические числа никаких совершенно не имеют междуединичных расстояний и этим единицам ровно никакое направление не присуще. Это нулевые расстояния и нулевые направления. Это чисто смысловая, т. е. чисто количественная, взаимораспределенность и чисто количественная направленность.
Отсюда и аксиома.
Аксиома подвижного покоя в арифметике: арифметическое число есть совокупность определенным образом взаимно расположенных элементов.
Так как эта аксиома не содержит никакого указания моментов числового инобытия, то, следовательно, понимать такую формулировку можно только неинобы–тийно, т. е. только в смысле чисто количественной значимости. Можно, конечно, и отметить эту нулевую ино–бытийность. Тогда пришлось бы добавить несколько слов вроде «при их чисто смысловом расположении», или «при их чисто смысловой значимости», или «когда это расположение определено только смыслом самих элементов» и т. п.
3. Из распространенных аксиом арифметики сюда подойдут, очевидно, «аксиомы порядка», из которых, однако, надо брать не все ввиду их неравномерной значимости, а только некоторые. Очевидно, сюда целиком подойдет аксиома: «Если а и b суть какие–либо два различных числа, то всегда одно из них больше другого, т. е. всегда а>Ъ и b<а». Отсюда вытекают (но отнюдь не равносильны первой аксиоме) и другие: «Если а>b и А > с, то а>с»; «Если а>b, то всегда также а+с>b+с»; и наконец: «Если а>b и с> О, то всегда также ас>bс». Преследуя аксиоматическую общность изложения, можно и не касаться грех последних положений и ограничиться только первым об а>b и b<а.
1. Без труда формулируется та же аксиома для геометрии, поскольку здесь мы находимся в области инобытия числа, и категория подвижного покоя будет дана в своем инобытии. Это значит, что движение здесь мыслится не между отдельными единицами, из которых состоит чистое число, но между моментами инобытийными, т. е. пространственными, и покой будет мыслиться не в недрах самого числа, а среди инобытийно–числовых, пространственных моментов. Как в предыдущей категории различие дало различие не просто актов полагания и не единиц, но точек, а тождество оказалось не тождеством вообще, но пространственным тождеством точек, т. е. линией, плоскостью и телом, так и здесь мы должны оперировать с точками, этим бытием чисто числовых единиц, и должны от одной точки переходить к другой, наблюдая, что получается в результате этого движения и этого покоя.
Пусть мы двигаемся по линии от точки А к точке В. Чтобы показать, что мы именно движемся от А к В и что, придя в 5, мы именно остановились, для этого, очевидно, нужно, чтобы мы имели не просто голые и изолированные точки А и Ву взятые сами по себе, но в каком–то их специфическом взаимоотношении. Нужно, чтобы А уже сама по себе указывала бы на В, α В сама по себе указывала бы на А. Другими словами, нужно, чтобы обеим точкам была свойственна идея порядка, чтобы от А мы шли бы действительно кВи чтобы в таком случае и от В шли бы к А. Легче, однако, это демонстрировать на трех точках, потому что при существовании только двух точек еще есть возможность двигаться в обратную сторону. Когда же мы имеем на одной прямой три точки А, В, С и движемся от А в направлении к С, то тут уже во всяком случае нам придется пройти через точку В. Почему? Потому что точки А, В, С расположены в определенном порядке, связаны определенной последовательностью; и если вообще двигаться в этом направлении, то нельзя не пройти точки В. Таков порядок этой системы. В момент прохождения через В мы как бы на мгновение останавливаемся, а это и значит, что тут действует категория подвижного покоя и что она определяет собою единство направления и порядка.
Можно поэтому в следующем виде выставить нашу аксиому.
Аксиома подвижного покоя в геометрии: геометрическая величина есть совокупность определенным образом взаиморасположенных элементов в их инобытии. Или подробнее: геометрическая величина есть совокупность определенным образом взаиморасположенных элементов, находящихся в состоянии движения по актам своего внешнего полагания и в состоянии покоя, достигаемого этим внешним движением.
2. Из обычных формулировок аксиом сюда относятся т. н. аксиомы порядка. Их я взял бы почти в том виде, как они даны у Гильберта, хотя и в ином порядке — ради большей стройности и последовательности мысли. Именно, на первом месте я бы поставил то, что у Гильберта занимает третье место (II 3):
1. «Из трех точек прямой всегда одна, и только одна, лежит между двумя другими».
За этой аксиомой логически следует та, которая у Гильберта на первом месте (II 1), потому что сначала надо поместить одну точку между двумя другими, а потом уже говорить об отношении ее к этим другим, равно как только после этого следует говорить о продолжении движения за пределы этих двух точек (II 2). Таковы эти аксиомы:
2. «Если А, В и С—точки одной прямой и В лежит между А и С, то В лежит также между С и А».
3. «Если А и С—точки одной прямой, то существует по меньшей мере одна точка В, лежащая между А и С, и по меньшей мере одна точка D такая, что С лежит между А и D».
Это — аксиомы линейные. Необходимо также применение нашей категории и к плоскости. Здесь существует аксиома Паша[27], дающая представление о продолжении и порядке плоскости. Ее можно формулировать так:
4. «Если в плоскости даны три отрезка АВ, ВС и С А, то прямая на этой плоскости, имеющая общую точку с одним каким–нибудь из них, имеет также общую точку с одним из обоих других».
Тут не сразу понятно, что имеется в виду. Имеется же в виду то, что отрезок, соединяющий две точки, находящиеся по одну и ту же сторону от данной прямой, не имеет ни одной общей точки с этой последней, в то время как отрезок, соединяющий две не находящиеся по одну и ту же сторону от данной прямой [точки ], имеет с нею одну общую точку.
Разумеется, должна быть «аксиома порядка» и в отношении пространства (каковой почему–то совсем нет у Гильберта). Ее легко получить по аналогии с аксиомой Паша на плоскости примерно так:
5. «Две плоскости, имеющие одну общую точку, имеют одну общую прямую».
Эта аксиома показывает, как пространство делится плоскостью и как за одной частью пространства следует другая, ибо представление о прямой, общей двум плоскостям, возможно только тогда, когда есть представление о двугранном угле, и притом по крайней мере о двух (если не о четырех) сложных двугранных углах, т. е. представление о разделении пространства и о переходе из одной его части в другую.
Стоит заметить, что предложенная чисто математическая формулировка аксиомы подвижного покоя в геометрии отнюдь не есть единственно возможная. Энриквес наряду с предложениями Гильберта указывает и другие, которые вполне тождественны им. Это, пожалуй, стоит привести.
Одна формула:
«Каждая точка А прямой разлагает прямую на два класса точек (части), которые можно обозначить названиями «правая часть» и «левая часть», таким образом, что
a) каждая отличная от А точка принадлежит одной из обеих частей;
b) если А находится налево (или направо) от какой–нибудь точки В, то каждая точка налево (или направо) от А находится налево (или направо) от В
c) если А находится налево от В, то В находится направо от А».
Другая (относящаяся, как говорит Энриквес, к становящейся фигуре, но, собственно говоря, ни о каком становлении в настоящем диалектическом смысле тут нет и помину) [формула]:
«Точки прямой разбиты на два (естественных) порядка, из которых один противоположен другому таким образом, что при рассмотрении некоторого определенного порядка:
a) если даны две точки А, В прямой, то одна из них, например А, предшествует В ив таком случае В следует за А;
b) если даны три точки А, В, С и А предшествует В и В предшествует С, то А предшествует С;
c) между двумя точками А и В существуют промежуточные точки (предшествующие одной из них и следующие за другой);
d) не существует никакой первой (предшествующей всем) точки, и не существует также никакой последней точки».
Вышеприведенная плоскостная аксиома Паша может быть заменена другой (при условии Эвклидова постулата о параллельных линиях):
«Если две исходящие из одной точки О пары прямых пересекаются некоторой (не параллельной ни одной из четырех прямых) секущей в двух раздельных парах точек, то то же самое имеет место и для любой другой секущей, не проходящей через упомянутую точку О и не параллельной ни одной из четырех прямых».
Чтобы понять эту аксиому и ее своеобразную выразительность, необходимо иметь в виду вот что. Если мы имеем две пары линий, исходящих в упомянутом только что виде из одной точки, и если некая другая линия пересекает обе эти пары, то ясно, что обе эти пары линий находятся в одной и той же плоскости. Ведь, пересекая одну пару линий, наша секущая во всяком случае проходит через наши две точки той плоскости, в которой даны эти две линии, т. е. она всецело лежит на этой плоскости. То же самое и в отношении другой пары линий. Значит, обе пары линий в силу этого лежат на одной плоскости. Но тогда, очевидно, на этой же плоскости может быть проведена и всякая другая линия. И эта другая обязательно пересечет эти же две пары линий и тоже окажется в плоскости, общей обеим этим парам. Следовательно, если это возможно, то с проведением второй секущей мы остаемся в той же плоскости и единственное, что тут происходит, это движение по одной и той же плоскости.
Все различия геометрических формулировок анализируемой аксиомы указывают на то, что в философском отношении нельзя полагаться на чисто геометрические аксиомы. Их приходится заменять более общими формулами, выводимыми на общелогических основаниях.
Геометрические же положения должны быть только примером и приблизительным выражением. Аксиома дает перспективу в науке. И в свете этой перспективы должны появляться сначала более общие, а потом и более частные теоремы.
1. Во множествах подвижной покой будет, как и везде, отражать на себе своеобразие данной множественной сферы. Множество отличается от арифметического числа тем, что элементы, из которых оно состоит, находятся между собою в инобытийном, а не в чисто количественном взаиморасположении. Тут, говорили мы, также геометрическая система взаиморасположения, но только с одним отличием от нее: это не пространственная, но чисто числовая фигурность. Поэтому множество и есть синтез арифметического числа и геометрической величины. Подвижной покой есть, как мы уже знаем, идея порядка. Во множестве, стало быть, содержится свой собственный порядок, упорядоченность, — такая, что в ней участвуют не просто счетно–числовые моменты и не только пространственное расположение элементов, а и то и другое вместе, в их синтетической воссоединенности.
Имея это в виду, можно было бы просто сказать, что множеству свойственна упорядоченность, или, что то же, всякое множество есть упорядоченное множество. Но тут не будет подчеркнут момент специфически множественной упорядоченности. Ведь упорядочено все — и числа, и геометрические фигуры, и множества, и даже континуум.'Раз дается аксиома для множества, то должен быть отмечен и спецификум множества. Он и отмечается у нас во всех аксиомах о множествах. Однако в аксиоме подвижного покоя упорядоченность имеется в виду специально. Она, конечно, захватывается так или иначе решительно во всех аксиомах, поскольку упорядоченность (и притом специфически множественная) находится во всех множествах. Но в аксиоме подвижного покоя упорядоченность находит свое специальное выражение, поскольку упорядоченность и есть не что иное, как результат проявления именно подвижного покоя. Аксиому поэтому можно было бы так формулировать (аналогично предыдущим аксиомам множества).
Аксиома подвижного покоя в теории множеств: множество есть совокупность определенным образом взаиморасположенных элементов, возвратившихся из инобытия к самим себе. Или подробнее: множество есть совокупность элементов, взаиморасположенных так, что, будучи различными по актам своего внешнего полагания, они отождествляются в результате этих актов в чисто числовую совокупность.
2. Самое яркое, что имеется в математической литературе на темы этой аксиомы, это знаменитая теорема Цермело о том, что всякое множество может быть сделано вполне упорядоченным множеством[28], вернее, всякое множество может быть мыслимо как вполне упорядоченное множество. Об этом стоит сказать несколько слов.
Прежде всего эта теорема Цермело с философской точки зрения может считаться вполне излишней. С философской точки зрения вообще множества не существует без идеи упорядоченности. Только философская нечеткость мысли в соединении с разного рода математическими вкусами и предрассудками может требовать какого–то множества вне идеи упорядочения. В § 47. 1—2 мы уже указали на невозможность даже простого отличения множества от обычного конечного арифметического числа, если не будет принята во внимание идея порядка. Последняя, таким образом, входит в самое определение множества. Поэтому и у нас она формулируется уже в числе аксиом идеальной (т. е. самой первой и существенной) структуры числа. Можно и не доказывать теорему Цермело, и все–таки она должна содержаться решительно во всяких теоретико–множественных построениях. Ей поэтому лучше и называться не теоремой, но именно аксиомой.
Далее, входя в существо доказательства этой аксиомы у Цермело, мы убеждаемся, что основная идея этого доказательства вполне интуитивна и непосредственна и что, собственно говоря, можно было бы и не давать его в этом развитом виде и ограничиться указанием на основную совершенно непосредственную очевидность самой структуры всякого множества.
Именно, центральная идея доказательства сводится вот к чему. Предполагая вначале, что данное множество неупорядоченно, мы берем его в виде всех его частей (уже тут, конечно, содержится petitio principii[29], потому что раз множество расчленимо на несколько различных частей, то это значит, что оно вполне упорядочено, но — не будем настаивать на этом). В каждой такой части выбираем произвольно какой–нибудь элемент, который мы называем «отмеченным» элементом этой части (опять операция, возможная только при условии, что множество уже мыслится вполне упорядоченным, но — не будем настаивать и на этом). Далее следует самое интересное. Цермело называет «γ–частью» всякую часть рассматриваемого общего множества, такую, которая вполне упорядочена при помощи этого отмеченного элемента (тут опять указанное выше petitio principii, но — простим и это прегрешение), а именно: если а есть любой элемент этой γ–части, А — определенный им отрезок, Μ—А—дополнительная часть к А до данного общего множества, то для этой Μ—А отмеченным элементом оказывается как раз а. Вот это и есть основание всего доказательства. Грубо говоря, мы берем произвольно любой элемент из данного множества и на нем строим ориентацию в отношении всего множества. Ведь как можно вообще ориентироваться в том, что неразличимо? Нужно схватиться за какую–нибудь любую точку в этой неразличимости и в отношении этой точки ориентировать все прочие. Мы как бы чиркаем спичку в темной комнате и этим освещаем все, что в ней находится. Платон бы сказал: если есть что–нибудь одно, то это значит, что есть все. Ничего другого Цермело не высказывает в употреблении и в самом понятии своей «γ–части». Уже только одного «отмеченного» элемента достаточно, чтобы мы знали и весь отрезок (отрезком, который определен через элемент а, в теории множеств называется множество всех элементов, порядки которых ниже порядка а), и все, чего не хватает в данном отрезке по сравнению со всем первоначальным множеством, т. е. чтобы «γ–часть» была вполне упорядочена. Мы берем, следовательно, любой элемент из данного множества, становимся на нем как на некоей твердой точке и с него смотрим вперед и назад и во все стороны, озирая и сравнивая все, что во множестве вообще находится. Это и есть — и у Цермело, и по существу — единственный принцип упорядочения вообще; и конечно, во всяком множестве с необходимостью мыслится такая ориентация.
В дальнейшем Цермело берет две или несколько таких «γ–частей» (в этом случае одна из них, конечно, будет отрезком другой) и берет любые вообще элементы данного множества, входящие в «γ–части» (их порядок, очевидно, будет тот же, что и порядок соответствующих «γ–частей», а множество, обнимающее все «γ–части» и все входящие в них элементы, будет, конечно, вполне упорядоченным множеством). Остается только приравнять данное множество этому множеству всех «γ–частей», и — теорема доказана. Приравнивается же оно опять по тому же принципу. Пусть в Μ входят какие–нибудь части, которые не суть «γ–части». Тогда остается дополнительное множество до А/, в котором также будет найден «отмеченный» элемент, т. е. получится новая «γ–часть», которая охватит и полученное множество «γ–частей» с этим «отмеченным» элементом, и таким образом все данное множество окажется состоящим из «γ–частей», т. е. вполне упорядоченным множеством.
Всего этого можно бы и не упоминать. Тут важно то, что мы уже сказали: в неразличимом берется одна точка, с которой сравнивается вся остальная неразличимость и, следовательно, всякая другая точка этой неразличимости. Больше ничего и нет в доказательстве Цермело. Такой характер доказательства с полной очевидностью удостоверяет, что множество, если его мыслить как твердое и законченное понятие, вообще не может обойтись без идеи порядка и что это является одной из самых основных аксиом теории множеств.
Можно сказать еще и так. Множество немыслимо без своих элементов (нуль–множество не есть исключение, так как нуль–множество и нуль просто — это совершенно разные вещи); множество и есть не что иное, как множество именно элементов. Но если это так, то элементы должны находиться между собой в каком–нибудь отношении. Ведь «множество» — это только неудачный термин; тут надо было бы говорить именно о единстве, а не о множестве. Единство же есть единство чего–нибудь. В том, что математики называют множеством, с философской точки зрения содержится именно единство взаимоотношений элементов. Раз есть элементы, то в силу самого своего понятия они находятся в некоем определенном взаимоотношении, а это и значит, что они вполне упорядочены. Понятие полной упорядоченности уже содержится в понятии элемента (т. е., другими словами, в самом понятии множества), так же как понятие протяженности содержится в понятии пространства.
3. Хотя подробная диалектика упорядоченного множества будет нами изложена в специальном отделе о множествах, необходимо и сейчас ради уяснения уже занятых позиций наметить перспективу по вопросу об упорядоченности и показать, какие вообще возможны виды упорядочения с диалектической точки зрения.
Итак, мы различаем чистое арифметическое число (в котором инобытийно–нулевая упорядоченность) и голую идею порядка — категорию подвижного покоя, — которая, конечно, может рассматриваться и сама по себе, без всякого применения к числу или к чему бы то ни было. Разные виды (или, если угодно, ступени) упорядочения возникнут в зависимости от того, как мы будем трактовать взаимоотношение голого инобытийно–нулевого числа и голого порядка (точнее, голой идеи порядка). В зависимости от того, как близко и как глубоко число и порядок проникли друг в друга, от этого будут меняться и виды упорядоченности. Тут та же последовательность диалектических категорий, что и везде.
1) Прежде всего, порядок есть перво–принцип. Это значит, порядок есть некая неразличимость актов полагания вообще. Все акты полагания слиты в одно, но не просто в один акт (актов тут именно много, бесконечно много, и они все друг от друга отличны), а в одну общую смысловую неразличимость. Акты полагания порядка различны, но смысловой результат этих актов — полная неразличимость. Отсюда получается конструкция, в одно и то же время неразличимая — по смысловой взаимослитости всех актов полагания порядка и различная — по самим этим актам. Это есть упорядоченность континуума. Континуум есть, конечно, как и всякое множество, вполне упорядоченное множество. Тут идея порядка присутствует актом своего полагания, своей субстанцией, так сказать, и этих актов множество, они рассыпаны в полную необозримость, но не своим смысловым содержанием.
Поделиться книгой: