Хаос и структура

a) С понятием измерения мы уже встретились в § 54, где пробовали конструировать трехмерное и вообще п–мерное пространство, и в § 63.2, где заговорили об «общей метрической геометрии». Уже в этих двух случаях термин «измерение» обладает совершенно различным содержанием. Когда же говорят о метрике в смысле разных пространств, это будет еще третий смысл термина. Необходимо отдавать себе в этой путанице полный отчет.

b) У меня нет иного пути к расшифрованию разных значений этого термина и к их взаимному расположению, кроме диалектики. Диалектический же ход мысли предуказан заранее. Но прежде чем произвести здесь диалектическое исследование, необходимо утвердить самое главное: представление об измерении возникает впервые только с проблемой становления. Измерять можно только тогда, когда есть что измерять и чем измерять. Чтобы было что измерять, необходима какая–нибудь структура; а чтобы было чем измерять, необходимо уметь как–нибудь заполнять эту структуру. Структура впервые создается сферой едино–раздельности. Таким образом, теоремы (а тем более аксиомы) едино–раздельности сами по себе, собственно говоря, не нуждаются ни в каком понятии меры, или измерения. Но ведь сфера идеальной едино–раздельности есть сфера идеальная, сфера Эйдоса. Для нас она является также сферой чистого понятия, чистой категориальности. В категориях же может быть представлено вообще все существующее и несуществующее, возможное и невозможное. В категориях же мы говорили и о геометрических фигурах. В сфере Эйдоса мы имеем дело не столько с самими геометрическими фигурами, сколько с их понятиями. В этом смысле мы и нашли возможным дедуцировать геометрические фигуры еще на стадии едино–раздельности, хотя подлинное их место, конечно, только там, где уже имеет [ся] принцип непрерывности (или прерывности). С вхождением в сферу непрерывности мы впервые получаем геометрические фигуры как таковые (а не только их категориальную структуру и не только их эйдос).

Об измерении мы заговорили после перехода к сфере становления, т. е. к сфере непрерывности. Но это было уже другое измерение. Если раньше оно только впервые эйдетически конструировало самую фигуру — и было потому измерением впервые появляющихся пространств, — то здесь мы уже не конструируем фигуру из понятий, но впервые созерцаем ее как готовую. Раньше становление у нас было внутри самой фигуры, будучи ее нераскрытым самотождеством, так что «измерять» фигуру и впервые ее конструировать было одно и то же. Теперь же, поскольку фигура уже сконструирована, дальнейший переход ее в становление влечет за собой разделение функций «конструирования» и «измерения», и измерение оказывается операцией внешней в отношении конструирования. Но если так, то в чем же заключается отношение этих двух операций?

Если мы от эйдоса фигуры перешли к самой фигуре, то это значит, что теперь у нас не просто эйдос фигуры, но сама фигура и в ней — ее эйдос. Мы смотрим на фигуру и уже в ней видим ее эйдос, отличный от нее самой. Но это значит, что мы при созерцании такой фигуры сравниваем саму фигуру с ее эйдосом, с ее сущностью. Сравнение[66] же — это и есть более общая категория для всех видов измерения. Другими словами, здесь мы эйдос фигуры измеряем самой фигурой (или, если угодно, саму фигуру — ее эйдосом, хотя это последнее утверждение, однако, менее удобно, так как под измерением обычно понимается применение к измеряемому операции сравнения его с дальнейшими, низшими сферами, например размеры конкретной земли измеряются отвлеченными километрами).

с) Совсем новое понимание метрической операции [конгруэнтности. Здесь еще новый переход в инобытие, новый даже по сравнению с тем, когда мы переходили от эйдоса фигуры к самой фигуре. Естественно, что застилание фигуры становлением отодвигает теперь измерение еще дальше от конструирования. Если здесь переход в становление был только не чем иным, как гипостазиро–ванием эйдоса фигуры, то теперь, очевидно, введение нового инобытия должно не просто отличать саму фигуру от ее эйдоса, но оно должно установить инобытийные различия уже в самой гипостазированной фигуре. Раньше фигуру мы сравнивали с ее эйдосом, теперь же фигура получила для нас вполне самостоятельное значение; и если мы будем ее с чем–нибудь сравнивать, т. е. чем–нибудь измерять, то уже не с чем–нибудь высшим и более первоначальным, но с чем–нибудь последующим, вторичным или по крайней мере с самой собой.

Конгруэнтность и возникает на почве сравнения геометрической фигуры с самой же собой, на почве измерения фигуры ею же самой. Если мы уже полученную фигуру наложили на нее саму и нашли, что она сама с собой совпадает, то это, во–первых, значит, что мы измерили фигуру при помощи нее же самой; и это значит, во–вторых, что данная фигура подчинена принципу конгруэнции. Таким образом, конгруэнтность фигуры гарантирует нам, что идеальная, едино–раздельная ее сущность (эйдос, категория, понятие), гипостазированная в своей полноте (и тем превращенная в конкретно созерцаемый геометрический образ), не может быть как таковая растянута или сужена, что геометрическая фигурность не только есть, существует, но что она всегда и везде адекватна самой себе, что она неизменна в своих очертаниях и ее нельзя никакой силой деформировать или менять. Это и значит, что геометрическая фигура есть тут нечто ставшее, остановившееся, но это значение мы получили только потому, что мы произвели акт сравнения фигуры с нею же самою, что мы измерили ее при помощи ее же самой.

d) Есть, наконец, и еще один тип метрической операции. Логически сам собою возникает из всего предыдущего рассуждения принцип сравнения геометрической фигуры с дальнейшим инобытием, принцип сравнения не с нею же самой, а с тем, что ее отрицает, с инобытийным фоном. Если в процессе измерения фигуры ею же самой мы могли убедиться, что она или совпадает, или не совпадает сама с собой, то теперь мы накладываем на нее меры, взятые из того материала, который ей самой как таковой совершенно чужд. Но что же окружает геометрическую фигуру? Окружает пространство. Что же значит внести в фигуру инобытийно–пространственные моменты? Это значит убедиться, можно ли из алогически–ино–бытийного материала пространства построить данную фигуру или нет. Но это значит смотреть уже на самое пространство относительно. Это значит судить о том, каково данное пространство, на основании деформации самой геометрической фигурности. Ясно, что это измерение есть совсем другое, не бывшее раньше, и эта метрика здесь понимается вполне оригинально. Ниже мы увидим, что она связана с разным пониманием аксиомы параллельности.

е) Итак, вот максимально философски отчетливое расчленение и в то же время диалектическая конструкция возможных типов метрической операции в геометрии: 1) метрика в смысле модификации аксиомы параллельности (т. е. в смысле пространства Эвклида, Лобачевского и Римана) есть результат измерения геометрической фигуры при помощи ее внешнего инобытия; 2) метрика в смысле аксиом конгруэнтности есть результат измерения геометрической фигуры, когда она сама для себя является внешним инобытием, т. е. измерение фигуры при помощи ее же самой; 3) метрика в смысле аксиом непрерывности есть результат такого измерения геометрической фигуры, когда она сама квалифицируется как нечто внешнее к чему–то более внутреннему (а именно к ее эйдосу), т. е. это оказывается измерением эйдоса фигуры при помощи самой фигуры; и, наконец, метрика в смысле аксиом едино–раздельности есть не что иное, как результат отождествления измерения эйдоса с его первоначальным конструированием.

Сначала мы просто конструируем общее понятие фигуры и еще неизвестно, будет ли оно реальным предметом математических созерцаний, построений и обследований, потом мы накладываем на нее внешние меры, и — начинаем видеть, что она существует не только в мысли, но и «реально» (т. е. непрерывно). Потом мы меряем эту реальную фигуру: оказывается, она совпадает сама с собой или не совпадает, т. е. раньше непрерывность касалась ее первого гипостазирования, теперь же касается самой ее структуры. Непрерывность фигуры в смысле ее структуры и есть конгруэнтность. Далее, мы измеряем уже таким образом сформированную структуру тоже внешними мерами[67], т. е. непрерывность теперь начинает касаться не самой структуры, но возможного ее гипостазирования во внешности уже как таковой, не в смысле только эйдоса (что было бы только превращением эйдоса фигуры в самую фигуру, т. е. первым получением самой реальной фигуры), но в смысле гипостазирования самой реальной фигуры, так что здесь непрерывность превращается в «однородность» пространства (и, значит, в «неединородность»). Можно сказать еще и так. Геометрическая метрика основана или на идеально–смысловой внутренно–эйдетической непрерывности (непрерывность эйдоса фигуры), или на реальной внешне–эйдетической (непрерывность самой фигуры, ее факта и непрерывность ее структуры), или на выразительно–инобытийной эманативной непрерывности ([непрерывность] чисто алогического пространства). Метрических операций столько же, сколько основных диалектических моментов фигуры вообще. И после всего этого расчленения предмета вопрос о том, что именно называть геометрической метрикой, является уже второстепенным, и тут возможны разные вкусы.

3. Теперь выясняется отношение конгруэнтности к равенству и к подобию. Если проводить четкую постановку вопроса и здесь, то необходимо произвести расчленение соответственно основному диалектическому ряду. Прежде всего, мы имели (в супра–акте) 1) абсолютную единичность, или тождество, которое в смысловой сфере превратилось в 2) относительное тождество. Когда отождествляемые моменты не суть чисто смысловые, но становящиеся, г. е. когда они стремятся перейти в факт, мы получаем вместо тождества—равенство. Равенство есть тождество осуществляемого, или смысловое тождество в условиях фактически–субстанционального противостояния, в то время как в чистом тождестве это последнее еще не намечено. Если становление останавливается и мы получаем возможность обсуждать уже полученную структуру, то наше общее тождество трех структур, структурное тождество, есть конгруэнция. И наконец, когда структура сама переходит в новое становление, то мы получаем при условии тождества тождество структуры при наличии новых инобытийных ее свойств. Так получаются треугольники, тождественные но структуре, но — различные в смысле абсолютных размеров. Это есть подобие, которое оказывается, таким образом, выразительно–эманативной формой тождества. Итак, существует: 1) абсолютное тождество (единичность), 2) относительное тождество (в эйдосе), 3) становящееся тождество (равенство), 4) ставшее тождество (конгруэнция), 5) выразительное, энергийное, эманативное тождество (подобие).

Так выясняется с предельной четкостью сущность и диалектическое место конгруэнции.

4. Теперь мы можем сформулировать и соответствующие геометрические аксиомы.

a) Аксиома конгруэнтности, следовательно, должна указывать на постоянное самотождество ставшего. В арифметике, где становление было арифметической операцией, а ставшее было результатом этой операции, аксиома конгруэнтности свелась на учение о самотождестве результата операции в условиях вариирования самого становления, т. е. в условиях перемены формальной структуры самих операций. Это и дало «законы счета». В геометрии мы имеем дело не со счетом, но с построением. Требуется, следовательно, утвердить самотождество результата построения, т. е. самотождество фигуры (точнее, ее структуры, поскольку речь идет о ставшем в условиях изменения формальной структуры самих построений). Имеется фигура, например прямая. Мы ее построили определенным образом, например соединили две разные точки. Переменим структуру этого построения. Сделать это в отношении столь простого геометрического образования, как прямая, можно только путем обратного процесса, соединения не точки А с точкой В, но В с А. Если при этом прямая не изменится, значит, действует аксиома конгруэнтности. Везде тут фигура как ставшее будет тождественна сама себе, как бы мы ни вели себя в сфере становления, в результате которого появилось наше ставшее.

Аксиома ставшего числового бытия в геометрии: геометрическое построение имеет своим основанием тождество направлений [своего ] становления. Другими словами, геометрическое построение зависит только от своей чисто пространственной структуры при любом инобытийном воспроизведении ее элементов.

b) В свете этой общей аксиомы, полученной чисто диалектическим путем, будет понятным и многое из того, что рассказывается в математической литературе об аксиомах конгруэнтности. Нужно сказать, что математика и здесь не выдерживает ясного принципа, то объединяя конгруэнцию с предыдущими аксиомами, то ее им противопоставляя. Гильберт, например, формулирует аксиому линейной и плоскостной конгруэнтности и не формулирует конгруэнтности для пространства, выводя ее из сочетания линейно–плоскостной конгруэнтности с аксиомами сочетания и порядка, что, конечно, абсолютно] невозможно, так как аксиомы сочетания и порядка играют в пространственной конгруэнтности ровно ту же роль, что в линейной и в плоскостной. Это можно было бы утверждать, если бы пространственная фигура вообще ничего оригинального в себе не содержала бы по сравнению с линией и плоскостью. Если применение конгруэнтности к одним из элементов, построенных на основании аксиом едино–раздельности, требует аксиоматического закрепления, то это закрепление необходимо и ко всем другим из них. Поэтому для начала лучше вообще не говорить об отдельных фигурах, а нужно говорить о фигуре вообще.

Самой общей и отвлеченной аксиомой ставшего бытия, выраженной в геометрических терминах, может служить такая.

1. Каждая геометрическая фигура конгруэнтна самой себе.

Обыкновенно говорят об отрезке, который равен самому себе, где бы мы его ни откладывали. Но, снижая это суждение до наибольшей внутренней краткости, можно сказать, что каждая геометрическая фигура просто конгруэнтна сама себе, так как для установления конгруэнтности достаточно эту линию (как выяснялось выше, в п. 2с[68]) отложить на ней же самой (для большей ясности это можно сделать с ее другого конца).

Этот общий геометрический принцип можно детализировать, как детализировали мы в § 65 аксиомы счета. Тогда его можно заменить рядом аксиоматических утверждений, из которых наиболее важны такие два.

2. Две или несколько геометрических фигур конгруэнтны между собою, если соответственно конгруэнтны их элементы.

Эта аксиома, во–первых, может являться аналогией для коммутативного и ассоциативного закона в арифметике. Если имеется линия и на ней точка, делящая эту линию в том или другом отношении, то безразлично, какую из этих обеих частей сначала откладывать на новой прямой; сумма их все равно будет конгруэнтна данной линии (коммутативный закон). Также, имея линию, разделенную на несколько частей, можно в любом порядке откладывать эти части; сумма от него не изменится (ассоциативный закон). Не требует пояснений и геометрический аналог дистрибутивного закона. Эта же аксиома охватывает и аксиому Гильберта ΙΠ 2: «Пусть А В и ВС—два отрезка на прямой а без общих точек; далее, пусть А'В' и В'С' — два отрезка на той же или на другой прямой а' тоже без общих точек. Если при этом А В конгруэнтна А' В' и ВС, то всегда также АС конгруэнтна А'С'».

3. Две фигуры, конгруэнтные третьей, конгруэнтны между собою.

Нет нужды пояснять полнейшую аналогию этой аксиомы с общей идеей арифметической конгруэнтности, формулированной выше, в § 65.2а. Ее считает нужным ввести в число своих аксиом конгруэнтности и Гильберт.

с) Наконец, эти общие аксиомы геометрической конгруэнтности могут быть распространены и на отдельные фигуры, если иметь в виду соответствующие аксиомы едино–раздельности. Таковы аксиомы:

1. Каждый отрезок может быть однозначно определенным образом отложен по любую сторону на любой прямой от любой точки.

2. Каждый угол может быть однозначно определенным образом отложен в любой плоскости по любую сторону при любом луче.

3. Каждое тело может быть однозначно определенным образом построено в любом пространстве при соответствующих координатных данных.

5. В заключение остается еще сказать несколько слов относительно связи аксиом конгруэнтности с предыдущими аксиомами. Если мы обозначим аксиомы едино–раз–дельности через А, аксиомы непрерывности через В, аксиомы конгруэнтности через С, то, минуя полную систематику всех возможных здесь геометрических комбинаций (что мы делаем во втором томе), можно покамест отметить такие четыре комбинации:

1) А, В, С,

2) А, не–В, С,

3) А, <В>, не–С,

4) А, не–В, не–С.

Что касается первой комбинации, то ясно, что она (со включением аксиомы параллельности, которую мы еще не рассматривали) есть наша обыкновенная элементарная эвклидовская геометрия.

Но что такое вторая комбинация? Может ли существовать пространство, которое подчинено аксиомам еди–но–раздельности и конгруэнтности, но не подчинено аксиомам непрерывности? Очевидно, такое построение невозможно. Допустим, что наши линии прерывны, что наше пространство не гарантирует нам возможности его заполнить и что, скажем, откладывая наш отрезок на какой–нибудь прямой, мы вдруг убеждаемся, что он разломился и внутренняя последовательность его точек прервалась. Можно ли после этого ожидать, что весь отрезок целиком уложится на прямой, где ему будет отведено такое же место, какое он занимает сам по себе? Ясно, что эти два отрезка при взаимном наложении не будут совпадать. Следовательно, геометрия, в которой нет идеи непрерывности, не может иметь и идеи конгруэнтности.

Что такое третья комбинация? Возможна ли едино–раздельная непрерывность без конгруэнтности ? Если бы она была невозможна, то конгруэнтность была бы пустым [понятием] без всякого смысла и она ничем не отличалась бы от самой непрерывности. Тут–то как раз и выясняется все своеобразие этой категории. Когда фигура непрерывна, [она] в то же время [может быть] лишена идеи конгруэнтности. Тут выясняется именно структурный характер конгруэнтности, в отличие от которой непрерывность касается только факта, становящегося факта построения, а не структуры этого построения.

Такую геометрию, вообще говоря, можно было бы назвать непаскалевой, поскольку в ней отсутствует известная теорема Паскаля о пересечении сторон угла параллельными линиями (или, что то же, о шестиугольнике, вписанном в коническое сечение, имеющее форму двух прямых) и поскольку эта теорема связана с законом коммутативности умножения. Однако для точности надо сказать, что в непаскалевой геометрии соблюдаются как оба ассоциативных и оба дистрибутивных закона, так и коммутативный в сложности.

Если к этому присоединить аксиому непрерывности, то нетрудно дедуцировать отсюда коммутативность умножения, т. е. тем самым теорему Паскаля. Следовательно, хотя упомянутая комбинация А> В, не–С внешне и выражена, если брать эти категории в чистом виде, но те из <.··>> которые наблюдаются в геометрии архимедовой и паскалевой (а также еще и дезарговой, ср. выше теорему Дезарга о проектности треугольника в § 63.5), делают невозможным объединение дезарговой, архимедовой и непаскалевой геометрий.

Что касается, наконец, четвертой комбинации, в которой отсутствует и непрерывность, и конгруэнтность, τό если вообще мыслимо отсутствие одной из этих категорий, то вполне представимо и отсутствие их обеих. Можно даже сказать, что эта геометрия и не может не быть непаскалевой, раз она неархимедова (как это видно из предыдущего).

Вообще говоря, в суждении о всех этих типах геометрических построений можно руководствоваться следующей схемой[69].

§ 67. Аксиома ставшего числового бытия в теории множеств.

1. Нам не нужно будет подвергать категорию конгруэнтности вновь принципиальному рассмотрению после того, как мы выше предприняли ряд разграничений и установок для арифметической и геометрической областей. Перенесем целиком в теорию множеств основной принцип конгруэнтности в тождестве направлений счетного, или построительного, становления и будем только наблюдать, какой эффект вызовет этот принцип в сфере самих множеств.

а) Прежде всего, что здесь является аналогом арифметического счета и геометрического построения? Выше (§ 56.1) мы видели, что таковым является упорядочение, или, другими словами, типизирование (установление и функционирование типа) множества. Следовательно, вопрос касается тождества направлений упорядочивания. Если аксиома конгруэнтности верна в отношении множеств, то, какие бы направления в смысле упорядочивания элемента мы ни брали, все они должны давать абсолютно тождественный результат, а именно прежнее и основное множество с его собственным типом.

Будем при этом помнить: речь идет вовсе не о произвольности комбинирования элементов как таковых. Такового произвола не было у нас даже в арифметике и в геометрии, и тем более его не может быть в отношении теории множеств, где такую первостепенную роль играет идея порядка. Речь идет о произвольности выбора направлений становления чисел, а не о тождестве самих чисел. Становление же, будучи само по себе алогическим, не способно ничего менять в логическом, т. е. в данном случае, в чисто числовом (как в смысле количества, так и в смысле порядка), и оно способно вносить различия только в условиях сохранения прежней количественной и качественной структуры. Следовательно, аксиома конгруэнтности требует сохранения общей структуры данного множества (т. е. его типа) при любом комбинировании его элементов, но это комбинирование должно быть не абсолютным, а, так сказать, экземплификационным. Мы не сдвигаем этих элементов с места и не меняем их порядка, а только мысленно объединяем их в разные подмножества. И оказывается, при каждом таком комбинировании образуется новое множество, хотя в него входят элементы только из тех, которые входили в данное основное множество.

Можно ясно сказать еще и так. Элемент множества, как мы знаем, несет на себе смысл целого, т. е. смысл всего множества. Теперь мы объединим его с элементом другого множества. Это другое множество, поскольку оно другое, есть совсем другая целость, и несет оно в себе совсем другой смысл. Стало быть, и элементы его несут на себе совсем другой смысл, чем элементы первого множества. И вот, оказывается, объединение этих двух элементов из разных множеств создает еще новое множество, которое ничего общего не имеет с первыми двумя. Элементы первых двух множеств вошли в состав третьего множества решительно с тем же самым смысловым содержанием, которое они имели и в границах своих множеств. Элемент третьего множества конгруэнтен элементу первого или второго множества (смотря по тому, откуда он взят). Другими словами, к какому бы новому множеству мы ни присоединяли данный элемент данного множества, он все равно остается самим собою, и в пределах этого нового множества он точно так же ориентирован на целое, как и в пределах первого множества. Правда, поскольку сюда входят элементы с другой ориентации, общая совокупность всех элементов множества наложит на наш перенесенный элемент печать и его нового местонахождения. Тем не менее стоит только отвлечься от целого, как мы вновь узнаем наш элемент первого множества, как он был до перенесения.

Наглядным и обывательским примером теоретико–множественного действия этой аксиомы конгруэнтности может служить такая вещь детского мира. Всем известны т. н. загадочные картинки. Дается, например, картинка леса или постройки, и спрашивается: а где же дровосек или где же плотник? Вы долго рассматриваете этот простейший рисунок и никак не можете найти человека. Потом вдруг вы обращаете внимание на несколько штрихов и объединяете их в специальную фигуру, отличную от всего прочего фона. Оказывается, дровосек тут все время был, но мы просто не выделяли штрихов, рисующих его фигуру, в отдельное множество. Спрашивается: изменилось ли что–нибудь во всем рисунке оттого, что мы увидели здесь человека? Ровно ничего не изменилось. Элементы картины, из которых создан дровосек, вполне конгруэнтны тем же самым элементам в том случае, когда они не дают нам никакого представления о дровосеке, а просто входят в общий рисунок наряду с прочими его частями. А мы можем выбрать любые комбинации на фоне нашего рисунка, от этого ровно ничего не изменится ни в самом рисунке, ни в отдельных его частях. Это и значит, что, какое бы направление в становлении упорядочивания мы ни взяли, все эти направления вполне тождественны в смысле общего результата упорядочивания элементов, захваченных данным становлением.

b) Таким образом, конгруэнтность здесь (как и раньше) мы понимаем двояко.

Во–первых, мыслится конгруэнтность множества с самим собою. Здесь мы видим: тип множества есть нечто до такой степени твердое и определенное, что он не меняется от того, с какой стороны мы к нему подходим. В теории множеств прямо существует предположение, что конечное множество при всяком изменении способа упорядочивания сохраняет свой тип. Из этого типа мы могли вырезывать другие типы, которые не будут с ним конгруэнтны, и наличие этих совершенно новых типов нисколько не мешает существованию общего липа. Последний остается сам собою при любых направлениях его рассматривания. Это и есть тождество направлений становления множества.

Во–вторых же, мыслится конгруэнтность множества при любом его «перенесении» и любой, так сказать, «среде», как и треугольник мыслится конгруэнтным другому треугольнику, если для последнего выполнены те же условия построения, что и для первого. Некоторый материал для этого второго способа представления дает указываемая дальше «аксиома произвольного выбора», хотя она формально и не имеет никакого отношения к понятию конгруэнтности.

Аксиома ставшего числового бытия в теории множеств: упорядочивание множества основано на тождестве направлений его становления.

2. а) Просматривая литературу по теории множеств с целью определения того, сумели ли математики уловить и зафиксировать идею конгруэнтности в сфере множеств, мы с огромным удовлетворением и полной неожиданностью наталкиваемся на одну очень популярную аксиому, которая так и носит название «аксиомы Цермело» и определяется как «аксиома произвольного выбора». Формулировка ее, однако, сильно отличается от нашей, и сходство в основном не должно затемнять перед нами всех расхождений. Остановимся на этой популярной и многоспорной аксиоме.

Сначала прочитаем ее. Формулируют ее обычно так: если Μ есть множество, все элементы попарно содержат каждый тоже по крайней мере по одному элементу, и потому, попарно взятые, они совершенно различны по своим элементам, то существует по крайней мере одно множество, — а именно подмножество в качестве некоего объединенного множества, — которое имеет как раз один–единственный элемент, общий с каждым элементом из М, и не имеет никакого другого элемента.

b) Что сказать об этой «аксиоме выбора», создавшей целую литературу бесполезных словоизлияний? — Прежде всего, если ее брать в таком виде, как она формулируется обычно, она вполне излишня в системе теоретико–множественных аксиом вообще, и в особенности у тех, кто не сопротивляется аксиоме полного упорядочения. Строго говоря, «аксиома выбора» отличается от «аксиомы полного упорядочения» только словесно. Ведь что мы называем полным упорядочением? Если упорядоченным множеством мы называем такое, в котором о каждой паре его элементов а и b мы утверждаем, что или а>b, или b>а (т. е. или а является первым элементом, или b), го вполне упорядоченное множество есть такое, в котором каждая часть имеет первый элемент. У нас имеется множество множеств. Каждое входящее сюда множество есть, стало быть, четкая последовательность элементов.

Мы берем из каждого такого множества по одному элементу так, чтобы это были разные элементы. Ясно, что в полученном из этих элементов новом множестве будет соблюдена тоже четкая последовательность, раз сами элементы с самого начала составляли такую же четкую последовательность. Что же нового нам дало это «произвольно выбранное» множество по сравнению с полной упорядоченностью первого множества множеств? Ровно ничего. Поэтому кто признает полное упорядочение, тот может не тратить времени и слова на аксиому выбора.

c) Особенно математики убиваются над тем, что часто, несмотря на эту аксиому, невозможно действительно построить реальное множество, отвечающее требованиям аксиомы. Многие с серьезнейшим видом делают замечательное открытие, что одно дело — постулировать возможность множеств и другое—дать само множество как реальный математический индивидуум, утешая себя и других, что–де хоть и невозможно конструировать здесь реальное множество, но зато оно принципиально возможно. По этому поводу обычно высказывается ряд глубоко–мысленнейших суждений, являющихся действительно невообразимой новостью для тех, кто никогда не занимался философией. Вся эта словесность, однако, появляется только потому, что в самой аксиоме напирают обычно на то, что для нее совсем не характерно и что является только повторением аксиомы полной упорядоченности[70].

d) Что же является гут самым главным, самым оригинальным и интересным? Таковым является здесь и самая возможность нового множества, и[71] то обстоятельство, что, если оно возможно, оно составляется из тех же самых элементов, из которых состоят и множества данного множества. Центр тяжести здесь не в отдельном индивидуальном множестве, о возможности которого спорят математики, но в том, что тип данного множества совершенно не [зависит] от того, в какие группы мы объединяем элементы, входящие в эти множества. Тип данного множества множеств всегда можно заменить типом некоторой системы подмножеств данного множества, и это будет совершенно тот же самый тип. Поэтому дело тут вовсе не в произвольности выбора таких подмножеств, которые окажутся упорядоченными ровно так, как основное, исходное множество. Значит, «аксиому выбора» мы бы так преобразовали в целях привлечения ее для иллюстрации нашей аксиомы ставшего бытия в теории множеств: если дано какое–нибудь множество множеств, то из элементов этих последних всегда можно составить такую систему подмножеств, что ее тип будет конгруэнтен типу основного множества множеств.

е) Этой аксиомой определяется то, что в пределах каждого множества мы можем как угодно менять направления в становлении упорядочивания его элементов, т. е. выявлять в нем любые части, из которых каждая будет, очевидно, упорядочена специфическим образом, и тем не менее общий результат всех этих направлений (если мы исчерпали все множество) будет вполне равносилен его первоначальной упорядоченности. Здесь намечаются контуры того самого универсально–математического принципа, который для арифметики постулировал равенство двух величин при условии равенства каждой из них третьей величине, если под этой величиной понимать множество, упорядоченное первоначально, и под второй— множество, упорядоченное путем упорядочения произвольно взятых частей этого множества. Такие два множества будут различаться между собою только направлениями становления своего упорядочивания, и они поэтому будут конгруэнтны: всякое множество конгруэнтно самому себе.

Отсюда и переход к законам теоретико–множествен–ных операций, которые, конечно, специфичны в сравнении с соответствующими законами арифметики (так, например, дистрибутивный закон умножения слева вовсе не возможен, в то время как тот же закон справа имеет место). Легче всего видеть связь этих законов с анализируемой аксиомой в ассоциативном законе сложения. Пусть имеется множество трех множеств — А, В, С, где А>В и В>С. Тогда возможны[72] такие вполне упорядоченные системы частей:

1) AUBUC.

2) (AUB)UC.

3) AU(BUC).

Совершенно ясно, что, какую бы из этих трех систем частей данного множества мы ни брали, общая сумма трех множеств будет вполне одинаковая. Это и будет значить, что мы тут вариируем направление становления упорядочения. Однако конгруэнтность суммы во всех трех случаях выбора направления упорядочивания требует аксиоматической фиксации.

§ 68. Аксиома ставшего числового бытия в теории вероятностей.

1. Место арифметического счета, геометрического построения и теоретико–множественного полагания занимает в теории вероятностей исчисление вероятности. Ставшее бытие есть то, которое становилось и потом стало, остановилось. Это значит, что оно есть последовательность, но стационарная. Стационарная последовательность, чтобы быть именно стационарной, требует единства своей структуры, — точнее, самотождества этой структуры при различии тех или иных ее инобытийных особенностей. «Движение», «перенесение» и здесь является хотя и «грубой», но, кажется, наиболее ясной иллюстрацией наличия инобытийного становления структуры при ее смысловом и принципиальном самотождестве. Следовательно, если мы имеем определенную последовательность вероятностей в одном «месте», мы гарантированы, что та же последовательность вероятностей будет и в этом другом месте.

Аксиома ставшего числового бытия в теории вероятностей: исчисление вероятностей основано на тождестве направлений их становления.

2. С. Н. Бернштейн и здесь проявил некоторую проницательность, выставивши «аксиому о несовместимых событиях», не отдавая, впрочем, себе отчета в том, что под этой аксиомой кроется идея конгруэнции. С. Н. Бернштейн напирает в этой аксиоме на несовместимости событий. Для нас, однако, во–первых, эта несовместимость важна только как указание на последовательность (без которой нет структуры ставшего), а во–вторых, тут важна не столько и сама последовательность, сколько независимость ее от «направления ее становления», данного здесь в виде «перенесения» ее с одних событий на другие (вне этой независимости не может быть самотождества фигуры последовательности). Если иметь это в виду, то «аксиому о несовместимых[73] событиях» можно повторить без изменения: «Если известно, что события А и A_t несовместимы между собой и, с другой стороны, события В и также между собою несовместимы, причем вер. А=вер. В и вер. А₁ = вер. В₁ то вероятность факта С, заключающегося в наступлении события А или события A_l равна вероятности факта С₁ заключающегося в наступлении В или Β₁ т. е. вер. (А или А₁) = вер. (В или Β₁)».

Пусть для какой–нибудь категории лиц, вступающих в брак, вероятность овдоветь в течение трех лет равна вероятности получения из данной урны белого шара, а вероятность овдоветь после трех лет равна вероятности появления черного шара. Тогда вероятность овдоветь вообще равняется вероятности появления белого или черного шара. Разумеется, несовместимость события может быть какая угодно и отношения между отдельными вероятностями могут быть какие угодно. Всегда одна последовательность вероятностей будет конгруэнтна другой последовательности при условии тождества соответственных отдельных вероятностей.

е) АКСИОМА ВЫРАЖЕНИЯ ИЛИ ПОНИМАНИЯ (ИЛИ АКСИОМА ВЫРАЗИТЕЛbНОЙ ИЗМЕРИМОСТИ) § 69. Общий принцип выразительной измеримости.

1. В § 35 была формулирована общая установка для математической аксиоматики в области выражения: число есть выразительный акт полагания. Там же выяснялась и сущность выражения или понимания. Сейчас мы кратко это повторим.

Бытие есть нечто. Это значит: оно имеет смысл. Ведь смысл и значит быть чем–то. Смысл бытия отличен от самого бытия, ибо бытие имеет смысл, но еще не есть самый смысл. Выражение же бытия не только не есть само бытие, но не есть смысл бытия. Смысл выражается, но не есть само выражение. Смысл может и не выражаться, и это не мешает ему существовать. Выражение предполагает, что есть нечто выражаемое, а «нечто» есть смысл. Следовательно, выражение в диалектическом смысле позже смысла, как и смысл диалектически позже, чем «бытие». В смысле, как таковом, [нет] ничего внутреннего или внешнего. Смысл просто есть. В сравнении с бытием он есть позднейшее, но, когда он появился, он стал внутренним для бытия. В выражении же всегда есть нечто внешнее. Но это внешнее выражает смысл, а это значит, что оно делает его из внутреннего внешним. Выражение—синтез внутреннего и внешнего, тождество внутренней осмысленности и внешней явленности. Смысл обращен к своему осмысленному бытию, выражение же обращено к инобытию, к внешнему, оно выносит тайный смысл бытия наружу и делает его ясным и видным всюду.

Смысл бытия уже предполагает инобытие. Но оно еще не целиком вошло в него. Смысл бытия еще не вобрал в себя всего выраженного своего инобытия. А это необходимо, так как смысл бытия, раз уж он появился, должен охватить все возможные судьбы этого бытия. Формулируя выше разные диалектические этапы «измерения» (§ 66.2, ср. также рассуждение о диалектике перехода от аффинной геометрии к метрической, § 63.Зе), мы уже столкнулись с проблемой выражения. Именно: эйдос сам по себе есть только вообразительно данный смысл, но еще не есть выражение; выражение же начинает диалектически жить только с момента появления абсолютно внеэйдетического бытия, абсолютно внесмыслового, ино–бытийно становящегося. Как же нарастает эта выразительность по мере дальнейшего диалектического продвижения и усложнения эйдоса?

Первые два этапа этой выразительности, зародышевых этапа, мы уже имели; это конгруэнция непрерывности и конгруэнция конгруэнтности. Первая из этих позиций (давшая нам первоначальную теорию групп, наиобщую метрическую геометрию и первое наиобщеизмеримое множество) только еще начинает некое общение с абсолютным инобытием. Идеальное число, числовой первообраз (конструированный при помощи принципов еди–но–раздельности) впервые здесь предполагает инобытие как некую самостоятельную сферу. Тут еще далеко до полного синтезирования числа с его абсолютным инобытием. Но важно, что здесь число постулирует бытие этого инобытия, в то время как чистый эйдос даже его и не постулировал. Постулирование чего–то как отличного от себя есть первый этап объединения с ним.

Вторая из упомянутых позиций (как мы разъясняем в § 66.2), позиция конгруэнтности (давшая нам правила счета, Паскалеву и непаскалеву геометрию, и «аксиому выбора», и «аксиому о несовместимых событиях»), синтезирует идеальное число, или числовой эйдос, с его инобытием гораздо ближе, глубже и интимнее. Если на стадии непрерывности внешнее инобытие входило в идеальное число только по своему смыслу, то сейчас оно входит уже и по своей субстанции, так что эйдос уже перестал быть бесплотным смыслом, но получил, так сказать, свое тело, стал фактом. Раньше он не был фактом. Он был только эйдосом, или смыслом, и всякое инобытие он мог вмещать в себя только смысловым же образом. Теперь он субстанциально отождествляется с инобытием, и так как инобытие смысла есть именно материал, тело, то смысл теперь и получает от инобытия тело, которое отныне становится его собственным телом, и тем самым превращается] в самостоятельный факт. Итак, тело как ставшее, число как факт есть субстанциальное тождество становящегося смысла и его инобытия. Но и тут мы сталкиваемся только с примитивными зародышами выразительности.

Дело в том, что на стадии наличного бытия, или ставшего, числовой эйдос хотя и вместил в себя инобытие по его субстанции, но он все же остался замкнутым в себе. По существу, чистый смысл как раньше был дан сам по себе, без всякой связи с внешним, так остался он и теперь, с тем единственным различием, что он получил тело и стал фактом. Разумеется, уже одно это немного приблизило его к внешности, но это приближение— фактическое, а не оформленно–выявленное. Если смысл стал фактом, то это и значит, что он стал ближе к действительности фактически. Но ведь смысл и есть всегда смысл; и если он стал фактом, то не для того, чтобы перестать быть смыслом (и, следовательно, обессмыслиться), но чтобы стать смыслом своего факта. Раньше он был смысл просто, смысл идеального бытия. Теперь он стал фактом, т. е. стал смыслом своей фактической судьбы. Но для этого мало одного факта, одной наличности бытия. Для этого нужно, чтобы ставшее, факт, уже будучи таковым, т. е. уже вместивши в себя инобытие субстанциально, начало вмещать в себя еще новое инобытие.

Но что значит для факта вмещать инобытие? Когда смысл вбирает в себя свое инобытие, он внутренно разделяется, различается, становится раздельным, превращается в координированную раздельность. Когда же факт вбирает в себя свое инобытие, он внутренно раскалывается, дробится, множится, растягивается и сжимается, делается компактным или пористым и т. д., т. е. претерпевает некую свою жизненную судьбу. Если чистый смысл превратился в смысл своего факта, или существования, то он являет собою все эти судьбы своего фактического деформирования. Это–го и значит, что он стал выразительным смыслом. Это же значит также и то, что он стал не просто мыслимым смыслом (как раньше), но и понимаемым.

2. Как же подойти теперь к этой новой категории с точки зрения математической аксиоматики?

Инобытие потому и есть инобытие смысла, что оно, как таковое, никакого смысла в себе не содержит и вполне алогично. Входя в тождество со смыслом, оно распределяется, разливается, распластывается по структуре смысла, сплошно заполняет ее. Это значит, что оно переводится, так сказать, на язык смысла. Но если выразиться математически, т. е. рассуждать об алогизме инобытия в отношении к числу, то упомянутое отождествление окажется не чем иным, как измериванием числа. Число измеряется мерой, инобытийной к себе. Измерение и предполагает, с одной стороны, инобытийный материал, из которого сделана мера, а с другой — совпадение (полное или приближенное) этого размеренного материала с измеряемым предметом. Некоторым измерением числа, минуя внутренно–эйдетическое инобытие, было уже превращение его из чистого числа в становящееся, что и заставило нас заговорить в § 66.2 о метрической геометрии. Но там измерение свелось просто к гипоста–зированию идеального числа без привлечения всякого другого инобытия. «Меряли» мы и на стадии конгруэнтности, ограничившись измерением, адекватным измеряемой структуре. Теперь мы столкнулись лицом к лицу с новым абсолютным инобытием, которое может и быть, может и не быть адекватной мерой для числа, так как теперь речь идет о самом факте числа, о дроблении не содержания числа (когда оно, например, из целого становится дробным), но о дроблении самого факта числа, т. е. о напряженности самой категории числа. Следовательно, новое измерение числа и пространства покажет нам, насколько сохраняется самое понятие числа, величины фигуры и т. д. В отношении, например, геометрии мы будем говорить не о различиях в пространстве (отличие прямой от кривой, точки от линии, подобия от перспективы и пр.), но о различиях самого пространства, о различиях в структуре самого пространства, так что речь зайдет о кривизне не в пространстве, но о кривизне самого пространства. Это и значит, что мы перешли к выразительной измеримости.

§ 70. Аксиома выражения в арифметике.

В предыдущем выразительная измеримость уже назревала: мы получили категорию арифметического действия (§ 62.2), последовательности арифметических действий (§ 63.1) и внутреннего строения этих действий (§ 65.2). Внутреннее становление числа, т. е. его внутренняя измеримость, т. е. арифметическое действие, отныне должно выявиться вовне, чтобы стать выражением. Но проявиться вовне оно может только тогда, когда оно перестанет быть изолированным и единичным арифметическим фактом и превратится в осмысливающее начало для некоего внешнего становления. Ведь выражение и есть смысловым образом наполненное становление. Другими словами, последовательность действий, которая на стадии простого и чистого становления была лишь системой преобразований, теперь [приобретает] самодовлеющее значение — в виде определенного ряда или рядов чисел, структура которых и будет определяться теми или иными действиями. Мы получим арифметические ряды или вообще арифметические комбинации чисел, законом построения каковых рядов и комбинаций будет то или иное действие или совокупность действий. Отсюда и аксиома.

Аксиома выражения в арифметике: арифметический |ряд] основан на тождестве внутренно–внешних направлений самого становления. Или: существует то усложнение арифметического действия, которое основано на том, что ряды чисел подчиняются в своей структуре тому или иному арифметическому действию или их системе.

2. а) В отделе арифметики мы увидим, что сюда относятся т. н. модули, или ряды чисел, подчиненные действиям сложения или вычитания, кольца — с действиями сложения, вычитания и умножения и поля, или тела, — с четырьмя основными арифметическими действиями. Особую область составляют т. н. группы с более широким законом объединения элементов, чем те или иные арифметические действия. Все это — выразительные формы в арифметике.

Но так как выражение, как сказано, ставит под вопрос саму субстанцию выраженного, так что выразительное пространство, например, есть не только модификация элементов в пространстве, но и модификация самого пространства, т. е. та или иная его кривизна, то аналогично этому мы можем получить и специально выразительные формы в арифметических совокупностях. Самым простым и самым ярким является здесь впервые примененный Клейном и Ли метод выражения тех или иных пространств при помощи теории групп. Пространство оказалось выраженным при помощи арифметической совокупности и превратилось, таким образом, в ту или иную группу. Подробно излагать этого мы здесь не будем.

b) Наконец, необходима и еще одна диалектическая позиция, долженствующая к тому же завершить всю сферу числового выражения. А именно, мы должны взять всю числовую сферу целиком и, забывая все, что мы различили внутри нее самой, подвергнуть ее рассмотрению с точки зрения вне–числовой. Ведь выражение предмета и есть его значимость для иного, когда он является иному. До сих пор наше число являлось самому себе. Выразительная форма получалась у нас, вообще говоря, как та или иная комбинация самих же чисел (таковы модуль, группа и т. д.). Но постоянное и уже последнее по своей конкретности числовое выражение получится тогда, когда мы всю сферу числа противопоставим вне–числовой сфере.

Однако эту позицию удобно будет провести вместе с теорией множеств, что мы и делаем ниже, в § 72.

§ 71. Аксиома выражения в геометрии.

Выражение геометрического пространства составляет один из самых глубоких и увлекательных отделов философии числа. Попробуем наметить некоторые вехи в этой замечательной области, поскольку это требуется интересами аксиоматики.

1. Пространство, диалектически созревшее до степени выражения, есть пространство, поставленное в соотношение со своим абсолютным инобытием. В общем случае оно — неэвклидовское, «неоднородное» пространство, в котором эвклидовское — только один из частных случаев.

Это неоднородное пространство никак нельзя осилить предыдущими аксиомами. Что нам давали аксиомы едино–раздельности («порядка», «сочетания» и пр.)? Они нам только впервые давали геометрическую фигуру, да и то не столько ее саму, сколько ее отвлеченную категорию. Результат аксиом едино–раздельности, как это формулировано в § 5–8.1, гласил нам только о фигурно–упорядоченной совокупности элементов, и больше ничего. Конечно, и в эвклидовой и во всякой неэвклидовой геометрии построение приводит к тем или иным фигурно–упорядоченным совокупностям. Однако по этой линии невозможно провести различие между эвклидовой и неэвклидовыми геометриями. Точно так же тут ничем не поможет и становление, т. е. принцип непрерывности. Все эти пространства одинаково непрерывны и прерывны, и совершенно не в этом их подлинное различие. Конгруэнтность стоит уже значительно ближе к характеристике разных пространств, но та конгруэнтность, которая выше формулирована у нас в § 64 как результат категории числового ставшего, все равно сюда не годится. Там имелась в виду конгруэнтность внутрифигурная, когда сравнивались две фигуры в пространстве и независимо от свойств того пространства обсуждались с точки зрения конгруэнтности. Здесь же, поскольку ставится вопрос о субстанции самого пространства, нам важна конгруэнтность фигур именно в зависимости от пространства.

Самое большое, что мы получили до сих пор от наших аксиом, это фигура как таковая, с той ее чисто фигурной же измеримостью, которая зависела или от ее внутреннего инобытия, или от ее внешнего, но от такого внешнего, которое положено пока только в виде голого принципа, без всякой реальной развернутости. Ясно, что выведенная нами геометрическая фигура все еще слишком «идеальна», хотя она уже значительно «реальнее» фигуры, о конгруэнтных свойствах которой ничего неизвестно, подобно тому как эта последняя «реальнее» голой категории фигуры. В настоящем же смысле и уже в окончательном смысле «реальной» фигура будет только тогда, когда она вместит в себя и все свое абсолютно–внешнее инобытие. Включивши в себя возможное инобытие, она уже не сможет больше ни в каком смысле изменяться.

Как же включить в геометрическую фигуру ее абсолютно–внешнее инобытие, чтобы она стала выразительней?

2. а) Чтобы решить этот вопрос, мы должны взять какую–нибудь фигуру и рассмотреть ее отношение к ее абсолютно–внешнему инобытию. Возьмем фигуру простейшую— прямую линию, потому что еще более простая «фигура», точка, по своему смыслу абсолютно само–тождественна решительно во всех фигурах и пространствах. Конечно, прямая и без всяких дальнейших добавлений уже содержит в себе свою соотнесенность со своим инобытием. Поскольку в прямой мы находили (§[55]) единство направления, мы тем самым уже, несомненно, ориентировали ее на фоне ее абсолютно–внешнего инобытия. Однако сейчас нам этого мало. Мы хотим как раз эту–то соотнесенность и рассматривать специально, полагая и утверждая ее в виде отдельной диалектической категории. Но для этого мало будет одной прямой. Кроме того, и в указанной соотнесенности нас интересует, собственно говоря, не сама она как таковая, а то, с чем прямая соотнесена, т.е. само пространство. По этой соотнесенности мы должны судить о пространстве.

Чтобы этого достигнуть, мы, очевидно, должны взять по крайней мере две таких прямых. Когда мы берем одну прямую, то ее соотнесенность с прочим пространством если как–нибудь и меняется, то этого заметить невозможно. Другое дело, когда мы имеем две фигуры, конгруэнтные одна другой. Тогда если в этом мы найдем какое–нибудь различие, то оно будет зависеть уже не от внутренних особенностей самой фигуры, но от окружающего ее пространства, а это как раз нам и важно.

[b)] Но что значит две взаимно конгруэнтные прямые? Конгруэнтность есть одинаковая ориентированность фигуры относительно ее внутренно–внешнего инобытия. Две прямые, если мы к ним решаемся применить это понятие, есть не что иное, как две параллельные прямые. Когда две линии параллельны, это значит, что они одинаково ориентированы относительно своего абсолютно–внешнего инобытия, что они взаимно «конгруэнтны» и по своему внутреннему, и по своему внешнему инобытию.

И вот если мы имеем две такие параллельные прямые, а они оказываются при своем продолжении непараллельными, то это значит только то, что данная деформация есть деформация не прямых как прямых, но именно того пространства, в котором они существуют. Если при одинаковой, в принципе, ориентированности прямых они при своем продолжении в пространстве вдруг меняют свою ориентацию, то это значит, что само пространство как–то их деформирует; и по их новому виду мы, следовательно, получаем возможность вполне точно судить о самом пространстве. И особенности этого последнего, выводимые из нового вида фигур, уже не зависят от самих фигур, уж [е ] деформируют в определенном смысле вообще всякие фигуры.

Но если так, то тут мы тоже получаем один из великолепных примеров того, что диалектика называет выражением. Ибо выражение «чего–нибудь» — это как раз и есть смысловая вмещенность этим «чем–нибудь» его внешнего инобытия без реального перехода в это инобытие. Мы видим фигуру, деформированную по сравнению с отвлеченной геометрической фигурой, и по характеру этой деформации судим о том чистом, нефигурном пространстве, которое и обусловило собою эти деформации.

с) Что же оказывается? Оказывается, существует пространство, в котором не только возможна одна параллельная к данной прямой через данную точку, но и такое, в котором этих параллельных может быть сколько угодно, и такое, в котором их не может быть ни одной. В чем же дело?

Какой философский смысл возможности только одной параллельной к данной прямой в данной точке? Из предыдущего вытекает само собой, что если возможна реально только одна параллельная к данной, то это равносильно возможности только одинаковой ориентации прямой относительно прочего пространства. А так как прямая у нас с самого начала берется в чистом виде и без всяких примесей, то, значит, эта одинаковость есть всецело результат самого же прочего пространства, т.е. это пространство как таковое везде одинаково, или, как говорят еще, кривизна его равна нулю. Если к данной прямой через данную точку возможна только одна параллельная, то пространство, в котором все это происходит, есть голое и ровное становление, абсолютно однородное, каким и полагается быть становлению, если оно берется в чистом виде. Рассматривая пространство как выражение, а в выражении основное — это внутренно–внешнее становление, то сначала мы имеем просто становление как таковое, не внося в него решительно никаких диффе–ренций. Это и значит, что к данной прямой через данную точку можно провести только одну параллельную. Это — эвклидовское, параболическое пространство.

Но единице противостоит бесконечность. Что значит, что к данной прямой через данную точку можно провести бесчисленное количество не встречающихся с ней прямых? Это возможно только тогда, когда условия самого пространства обеспечивают проводимой линии ее непересекаемость с данной. Само пространство по своему качеству должно быть таково, чтобы при бесконечном продолжении линии оно толкало ее в сторону от данной прямой и постоянно мешало их встрече. Пространство здесь устроено так, что оно все время как бы расходится в разные стороны. Оно так же бесконечно, как и предыдущее, эвклидовское пространство, но оно в сущности еще более бесконечно, если можно так выразиться, поскольку оно обеспечивает не только уход проводимой линии в бесконечность, но обеспечивает и возвращение ее опять в конечную область. Ведь поэтому–то мы и узнаем о невстрече проводимой линии с данной, что по обе стороны данной точки они не встречаются с нею, как бы мы их ни продолжали.

Следовательно, в этом пространстве мы уже оперируем не с чистым и пустым становлением, но [с] таким, которое вернулось из бесконечности[74] и в котором мы знаем начало и знаем конец, хотя его «середина» и в бесконечности. Это т. н. гиперболическое пространство, или пространство Лобачевского, пространство отрицательной кривизны. Наконец, пространство, в котором невозможна ни одна параллельная к данной прямой через данную точку, устроено так, что оно заставляет все решительно прямые пересекаться уже на конечном расстоянии. Оно насильно гонит каждый две «параллельные» к соприкосновению, так что тут и не может быть никаких параллельных. Тут все линии замкнуты, и пространство обязательно конечно. Это пространство — положительной кривизны, т. н. эллиптическое, сформулированное Риманом.

3. а) Так вот в чем смысл этой старинной проблемы параллельности и всей судьбы знаменитого V постулата Эвклида. Это есть смысл выражения пространства в отличие от чистой фигурности как таковой, которая никак не выражена, а только отвлеченно мыслится. Аксиома параллельности с ее модификациями есть аксиома выражения в геометрии. Закрепим ее в формуле.

Аксиома выражения в геометрии: геометрическое построение основано на тождестве внутренно–внешних направлений своего становления.